Страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

21.28 Постройте график функции $y = |x - 2|$. С помощью графика найдите:

а) значения $y$ при $x = -3$; 0; 1;

б) значения $x$, если $y = 1$; 0; 4;

в) промежутки возрастания и убывания функции;

г) значения аргумента, удовлетворяющие условию $y > 2$.

Для построения графика функции $y = |x - 2|$ раскроем модуль. По определению, $|a| = a$ при $a \ge 0$ и $|a| = -a$ при $a < 0$.

Таким образом, функция $y = |x - 2|$ может быть записана в виде системы:

$ y = \begin{cases} x - 2, & \text{если } x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2 \\ -(x - 2), & \text{если } x - 2 < 0 \implies x < 2 \end{cases} $

То есть, $ y = \begin{cases} x - 2, & \text{при } x \ge 2 \\ -x + 2, & \text{при } x < 2 \end{cases} $

График состоит из двух лучей, сходящихся в точке, где подмодульное выражение равно нулю, то есть $x - 2 = 0 \implies x = 2$. При $x=2$ значение функции $y = |2-2|=0$. Следовательно, вершина графика находится в точке с координатами $(2, 0)$.

Для построения луча $y = x - 2$ на промежутке $x \ge 2$ возьмем еще одну точку, например, при $x=4$, $y=4-2=2$. Получаем точку $(4, 2)$.

Для построения луча $y = -x + 2$ на промежутке $x < 2$ возьмем точку, например, при $x=0$, $y=-0+2=2$. Получаем точку $(0, 2)$.

Соединив точку $(2,0)$ с точками $(4,2)$ и $(0,2)$ лучами, получим график функции — V-образную линию ("галочку").

Используя этот график (и аналитические вычисления для точности), ответим на вопросы задачи.

а) значения у при x = -3; 0; 1;

Чтобы найти значения $y$ по графику, нужно найти на оси абсцисс ($x$) заданные значения, провести от них вертикальные линии до пересечения с графиком функции, а затем от точек пересечения провести горизонтальные линии до оси ординат ($y$). Проверим вычислением:

При $x = -3$: $y = |-3 - 2| = |-5| = 5$.
При $x = 0$: $y = |0 - 2| = |-2| = 2$.
При $x = 1$: $y = |1 - 2| = |-1| = 1$.

Ответ: при $x = -3$ значение $y = 5$; при $x = 0$ значение $y = 2$; при $x = 1$ значение $y = 1$.

б) значения x, если y = 1; 0; 4;

Чтобы найти значения $x$ при заданных $y$, нужно провести горизонтальную прямую на соответствующем уровне $y$ и найти абсциссы точек её пересечения с графиком функции. Алгебраически это соответствует решению уравнения $|x-2|=y$.

При $y = 1$: решаем $|x - 2| = 1$. Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $x - 2 = 1$ или $x - 2 = -1$. Отсюда получаем $x = 3$ и $x = 1$.
При $y = 0$: решаем $|x - 2| = 0$. Это уравнение имеет единственное решение $x - 2 = 0$, то есть $x = 2$. Это абсцисса вершины графика.
При $y = 4$: решаем $|x - 2| = 4$. Получаем два уравнения: $x - 2 = 4$ или $x - 2 = -4$. Отсюда получаем $x = 6$ и $x = -2$.

Ответ: при $y = 1$, $x=1$ или $x=3$; при $y = 0$, $x=2$; при $y = 4$, $x=-2$ или $x=6$.

в) промежутки возрастания и убывания функции;

Промежутки возрастания и убывания функции определяются по поведению графика при движении слева направо вдоль оси $x$. График функции $y = |x - 2|$ имеет вершину в точке $(2, 0)$.

Слева от вершины, то есть при $x < 2$, график "идет вниз", что означает, что функция убывает.
Справа от вершины, то есть при $x > 2$, график "идет вверх", что означает, что функция возрастает.
Точка $x=2$ является точкой минимума, в которой функция меняет свое поведение с убывания на возрастание.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 2]$ и возрастает на промежутке $[2, +\infty)$.

г) значения аргумента, удовлетворяющие условию y > 2.

Найти значения $x$, при которых $y > 2$, — значит решить неравенство $|x - 2| > 2$. На графике это соответствует тем частям, которые расположены выше горизонтальной прямой $y = 2$.

Сначала найдем точки, в которых $y = 2$. Решим уравнение $|x - 2| = 2$.
$x - 2 = 2 \implies x = 4$
$x - 2 = -2 \implies x = 0$
График пересекает прямую $y=2$ в точках с абсциссами $x=0$ и $x=4$.

Из графика видно, что значения $y$ больше 2, когда $x$ находится левее точки $x=0$ или правее точки $x=4$. Это соответствует решению неравенства $|x-2| > 2$, которое распадается на два случая:
1. $x - 2 > 2 \implies x > 4$
2. $x - 2 < -2 \implies x < 0$

Ответ: $y > 2$ при $x \in (-\infty, 0) \cup (4, +\infty)$.

Решите графически уравнение:

21.29 a) $(x - 2)^2 = x;$

б) $(x + 3)^2 = 1;$

в) $(x - 2)^2 = -x;$

г) $(x + 5)^2 = 4.$

а) $(x - 2)^2 = x$

Для графического решения уравнения представим его как равенство двух функций. Корнями уравнения будут абсциссы (координаты $x$) точек пересечения графиков этих функций.

Построим в одной системе координат графики двух функций:

1. $y = (x - 2)^2$
2. $y = x$

График функции $y = (x - 2)^2$ — это парабола, полученная из графика $y = x^2$ сдвигом на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс. Вершина параболы находится в точке $(2, 0)$, ветви направлены вверх. Построим её по точкам:
При $x = 1$, $y = (1-2)^2 = 1$.
При $x = 2$, $y = (2-2)^2 = 0$.
При $x = 3$, $y = (3-2)^2 = 1$.
При $x = 4$, $y = (4-2)^2 = 4$.

График функции $y = x$ — это прямая линия, являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов. Она проходит через начало координат под углом $45^\circ$ к оси абсцисс.

Совместив графики на одной плоскости, мы увидим, что они пересекаются в двух точках. Определим их координаты. Из построенных точек видно, что это точки $(1, 1)$ и $(4, 4)$. Абсциссы этих точек: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Ответ: $1; 4$.

б) $(x + 3)^2 = 1$

Для графического решения уравнения построим в одной системе координат графики двух функций:

1. $y = (x + 3)^2$
2. $y = 1$

График функции $y = (x + 3)^2$ — это парабола, полученная из графика $y = x^2$ сдвигом на 3 единицы влево вдоль оси абсцисс. Вершина параболы находится в точке $(-3, 0)$, ветви направлены вверх.

График функции $y = 1$ — это прямая линия, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку $(0, 1)$ на оси ординат.

Построим графики. Парабола с вершиной в $(-3, 0)$ пересекает горизонтальную прямую $y = 1$ в двух точках. Чтобы найти абсциссы этих точек, найдем, при каких значениях $x$ функция $y = (x + 3)^2$ принимает значение 1.
При $x = -2$, $y = (-2+3)^2 = 1^2 = 1$.
При $x = -4$, $y = (-4+3)^2 = (-1)^2 = 1$.
Таким образом, точки пересечения графиков — это $(-4, 1)$ и $(-2, 1)$. Абсциссы этих точек: $x_1 = -4$ и $x_2 = -2$.

Ответ: $-4; -2$.

в) $(x - 2)^2 = -x$

Для графического решения уравнения построим в одной системе координат графики двух функций:

1. $y = (x - 2)^2$
2. $y = -x$

График функции $y = (x - 2)^2$ — это парабола с вершиной в точке $(2, 0)$, ветви которой направлены вверх. Все значения этой функции неотрицательны, то есть $y \ge 0$.

График функции $y = -x$ — это прямая линия, являющаяся биссектрисой второго и четвертого координатных углов.

Построим графики. Парабола $y=(x-2)^2$ расположена в I и II координатных четвертях, касаясь оси Ох в точке $(2, 0)$. Прямая $y=-x$ проходит через I и III четверти. Для того чтобы графики пересеклись, должно выполняться условие $(x - 2)^2 = -x$. Левая часть уравнения $(x-2)^2$ всегда неотрицательна. Следовательно, и правая часть должна быть неотрицательной: $-x \ge 0$, что означает $x \le 0$.
Рассмотрим, как ведут себя функции при $x \le 0$.
При $x=0$, $y=(0-2)^2=4$, а $y=-0=0$. График параболы выше.
При $x=-1$, $y=(-1-2)^2=9$, а $y=-(-1)=1$. График параболы выше.
При движении влево по оси $x$ ($x \to -\infty$), значения параболы $y=(x-2)^2$ растут быстрее, чем значения прямой $y=-x$. Таким образом, графики функций не пересекаются.

Поскольку точки пересечения отсутствуют, у уравнения нет действительных корней.

Ответ: корней нет.

г) $(x + 5)^2 = 4$

Для графического решения уравнения построим в одной системе координат графики двух функций:

1. $y = (x + 5)^2$
2. $y = 4$

График функции $y = (x + 5)^2$ — это парабола, полученная из графика $y = x^2$ сдвигом на 5 единиц влево вдоль оси абсцисс. Вершина параболы находится в точке $(-5, 0)$, ветви направлены вверх.

График функции $y = 4$ — это прямая линия, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку $(0, 4)$ на оси ординат.

Построим графики. Парабола с вершиной в $(-5, 0)$ пересекает горизонтальную прямую $y = 4$ в двух точках. Найдем абсциссы этих точек пересечения. Для этого решим уравнение $(x+5)^2=4$ относительно $x$.
$x+5 = 2$ или $x+5 = -2$.
Из первого уравнения получаем $x = 2-5 = -3$.
Из второго уравнения получаем $x = -2-5 = -7$.
Следовательно, точки пересечения графиков имеют координаты $(-7, 4)$ и $(-3, 4)$. Абсциссы этих точек: $x_1 = -7$ и $x_2 = -3$.

Ответ: $-7; -3$.

21.30 a) $2(x-1)^2 = 2x + 2;$

б) $-4(x+3)^2 = -x;$

в) $-(x+2)^2 = x;$

г) $2(x-2)^2 = 8.$

а) $2(x - 1)^2 = 2x + 2$

Сначала разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить его:

$(x - 1)^2 = x + 1$

Теперь раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 - 2x + 1 = x + 1$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 2x - x + 1 - 1 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 3x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 3) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$

$x - 3 = 0 \Rightarrow x_2 = 3$

Ответ: $0; 3$.

б) $-4(x + 3)^2 = -x$

Умножим обе части уравнения на -1:

$4(x + 3)^2 = x$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$4(x^2 + 6x + 9) = x$

Раскроем скобки, умножив каждый член на 4:

$4x^2 + 24x + 36 = x$

Перенесем все члены в левую часть:

$4x^2 + 24x - x + 36 = 0$

$4x^2 + 23x + 36 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 23^2 - 4 \cdot 4 \cdot 36 = 529 - 576 = -47$

Так как дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

в) $-(x + 2)^2 = x$

Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы:

$-(x^2 + 4x + 4) = x$

Уберем скобки, поменяв знаки на противоположные:

$-x^2 - 4x - 4 = x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:

$0 = x^2 + 4x + x + 4$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 5x + 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета. Сумма корней равна $-5$, а их произведение равно $4$. Легко подобрать корни:

$x_1 = -1$

$x_2 = -4$

Можно также решить через дискриминант:

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-5 + 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-5 - 3}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Ответ: $-4; -1$.

г) $2(x - 2)^2 = 8$

Разделим обе части уравнения на 2:

$(x - 2)^2 = 4$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Не забываем, что корень из 4 может быть как 2, так и -2:

$x - 2 = 2$ или $x - 2 = -2$

Решим каждое из этих линейных уравнений:

1) $x - 2 = 2 \Rightarrow x = 2 + 2 \Rightarrow x_1 = 4$

2) $x - 2 = -2 \Rightarrow x = -2 + 2 \Rightarrow x_2 = 0$

Ответ: $0; 4$.

21.31 a) $\frac{2}{x+3} = 2;$

б) $\frac{2}{x+1} = x;$

в) $\frac{3}{x-2} = 1;$

г) $\frac{3}{x-3} = 1-x.$

а) Дано уравнение $\frac{2}{x+3} = 2$. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $x+3 \neq 0$, откуда $x \neq -3$. Чтобы решить уравнение, умножим обе его части на знаменатель $(x+3)$: $2 = 2(x+3)$. Раскроем скобки в правой части: $2 = 2x + 6$. Перенесем 6 в левую часть с противоположным знаком: $2 - 6 = 2x$, что дает $-4 = 2x$. Для нахождения $x$ разделим обе части на 2: $x = -2$. Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Так как $-2 \neq -3$, корень является решением уравнения.
Ответ: -2

б) Дано уравнение $\frac{2}{x+1} = x$. ОДЗ: $x+1 \neq 0$, следовательно, $x \neq -1$. Умножим обе части уравнения на $(x+1)$: $2 = x(x+1)$. Раскроем скобки: $2 = x^2 + x$. Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $x^2 + x - 2 = 0$. Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае $a=1, b=1, c=-2$. $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$. Вычисляем корни: $x_1 = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$ и $x_2 = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$. Оба корня, $1$ и $-2$, удовлетворяют ОДЗ, так как они не равны $-1$.
Ответ: -2; 1

в) Дано уравнение $\frac{3}{x-2} = 1$. ОДЗ: знаменатель $x-2$ не должен быть равен нулю, то есть $x \neq 2$. Умножим обе части уравнения на $(x-2)$: $3 = 1 \cdot (x-2)$, что упрощается до $3 = x - 2$. Чтобы найти $x$, перенесем $-2$ в левую часть с противоположным знаком: $3 + 2 = x$. Таким образом, $x = 5$. Проверим корень: $5 \neq 2$, следовательно, корень удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 5

г) Дано уравнение $\frac{3}{x-3} = 1-x$. ОДЗ: $x-3 \neq 0$, следовательно, $x \neq 3$. Умножим обе части на $(x-3)$: $3 = (1-x)(x-3)$. Раскроем скобки в правой части, перемножив двучлены: $3 = 1 \cdot x + 1 \cdot (-3) - x \cdot x - x \cdot (-3) = x - 3 - x^2 + 3x$. Приведем подобные слагаемые: $3 = -x^2 + 4x - 3$. Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение в стандартном виде: $x^2 - 4x + 3 + 3 = 0$, то есть $x^2 - 4x + 6 = 0$. Для решения найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 16 - 24 = -8$. Поскольку дискриминант $D = -8$ является отрицательным числом, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: корней нет

21.32 a) $\frac{2}{x-1} = |x|;$

б) $\frac{2}{x-2} = \sqrt{x+1};$

в) $|x| = -\frac{3}{x+2};$

г) $\sqrt{x} = \frac{4}{x-2}.$

а) Исходное уравнение: $\frac{2}{x-1} = |x|$.
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x-1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.
Так как правая часть уравнения, $|x|$, всегда неотрицательна ($|x| \ge 0$), то и левая часть должна быть неотрицательна: $\frac{2}{x-1} \ge 0$.
Поскольку числитель 2 положителен, знаменатель также должен быть положителен: $x-1 > 0$, откуда $x > 1$.
При условии $x > 1$ модуль раскрывается как $|x| = x$.
Уравнение принимает вид: $\frac{2}{x-1} = x$.
Умножим обе части на $(x-1)$: $2 = x(x-1)$.
$2 = x^2 - x$.
$x^2 - x - 2 = 0$.
Это квадратное уравнение. Найдем его корни, например, по теореме Виета. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.
Проверим корни на соответствие условию $x > 1$.
Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию, так как $2 > 1$.
Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию, так как $-1 \ngtr 1$.
Следовательно, единственным решением является $x = 2$.
Проверка: подставим $x=2$ в исходное уравнение. Левая часть: $\frac{2}{2-1} = \frac{2}{1} = 2$. Правая часть: $|2| = 2$. Равенство $2=2$ верно.
Ответ: $2$.

б) Исходное уравнение: $\frac{2}{x-2} = \sqrt{x+1}$.
Найдем ОДЗ:
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.
2. Знаменатель дроби не равен нулю: $x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$.
3. Правая часть $\sqrt{x+1}$ неотрицательна, значит и левая часть должна быть неотрицательна: $\frac{2}{x-2} \ge 0$. Так как числитель 2 положителен, то и знаменатель должен быть положителен: $x-2 > 0 \implies x > 2$.
Объединяя все условия ($x \ge -1$, $x \neq 2$, $x > 2$), получаем, что решение нужно искать при $x > 2$.
Для решения уравнения возведем обе его части в квадрат:
$(\frac{2}{x-2})^2 = (\sqrt{x+1})^2$
$\frac{4}{(x-2)^2} = x+1$
$4 = (x+1)(x-2)^2$
$4 = (x+1)(x^2 - 4x + 4)$
$4 = x^3 - 4x^2 + 4x + x^2 - 4x + 4$
$4 = x^3 - 3x^2 + 4$
$x^3 - 3x^2 = 0$
Вынесем общий множитель $x^2$: $x^2(x-3) = 0$.
Отсюда получаем два возможных корня: $x=0$ или $x=3$.
Проверим корни на соответствие условию $x > 2$.
Корень $x=0$ не удовлетворяет условию ($0 \ngtr 2$).
Корень $x=3$ удовлетворяет условию ($3 > 2$).
Проверка: подставим $x=3$ в исходное уравнение. Левая часть: $\frac{2}{3-2} = \frac{2}{1} = 2$. Правая часть: $\sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$. Равенство $2=2$ верно.
Ответ: $3$.

в) Исходное уравнение: $|x| = -\frac{3}{x+2}$.
ОДЗ: знаменатель не равен нулю, $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$.
Левая часть уравнения $|x|$ всегда неотрицательна. Следовательно, и правая часть должна быть неотрицательна: $-\frac{3}{x+2} \ge 0$.
Умножим неравенство на -1, изменив знак: $\frac{3}{x+2} \le 0$.
Так как числитель 3 положителен, знаменатель должен быть отрицателен: $x+2 < 0 \implies x < -2$.
На интервале $(-\infty; -2)$ модуль раскрывается как $|x| = -x$.
Уравнение принимает вид: $-x = -\frac{3}{x+2}$.
$x = \frac{3}{x+2}$.
$x(x+2) = 3$.
$x^2 + 2x - 3 = 0$.
Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.
Проверим корни на соответствие условию $x < -2$.
Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию ($1 \nless -2$).
Корень $x_2 = -3$ удовлетворяет условию ($-3 < -2$).
Проверка: подставим $x=-3$ в исходное уравнение. Левая часть: $|-3| = 3$. Правая часть: $-\frac{3}{-3+2} = -\frac{3}{-1} = 3$. Равенство $3=3$ верно.
Ответ: $-3$.

г) Исходное уравнение: $\sqrt{x} = \frac{4}{x-2}$.
Найдем ОДЗ:
1. Выражение под корнем неотрицательно: $x \ge 0$.
2. Знаменатель не равен нулю: $x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$.
3. Левая часть $\sqrt{x}$ неотрицательна, значит и правая часть должна быть неотрицательна: $\frac{4}{x-2} \ge 0$. Так как числитель 4 положителен, знаменатель должен быть положителен: $x-2 > 0 \implies x > 2$.
Объединяя условия ($x \ge 0$, $x \neq 2$, $x > 2$), получаем $x > 2$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = (\frac{4}{x-2})^2$
$x = \frac{16}{(x-2)^2}$
$x(x-2)^2 = 16$
$x(x^2 - 4x + 4) = 16$
$x^3 - 4x^2 + 4x - 16 = 0$
Сгруппируем слагаемые: $(x^3 - 4x^2) + (4x - 16) = 0$.
$x^2(x-4) + 4(x-4) = 0$.
$(x^2+4)(x-4) = 0$.
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.
Уравнение $x^2+4=0$ не имеет действительных корней, так как $x^2$ не может быть равно $-4$.
Уравнение $x-4=0$ дает корень $x=4$.
Проверим корень на соответствие условию $x > 2$.
Корень $x=4$ удовлетворяет условию ($4 > 2$).
Проверка: подставим $x=4$ в исходное уравнение. Левая часть: $\sqrt{4} = 2$. Правая часть: $\frac{4}{4-2} = \frac{4}{2} = 2$. Равенство $2=2$ верно.
Ответ: $4$.

21.33 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}x, & \text{если } -2 \le x \le 2; \\ 3(x - 3)^2, & \text{если } 2 < x \le 4. \end{cases}$

а) Найдите $f(-1)$; $f(2)$; $f(4)$.

б) Постройте график функции $y = f(x)$.

в) Перечислите свойства функции.

а) Найдите f(-1); f(2); f(4).

Для нахождения значений функции в заданных точках необходимо определить, какому из двух интервалов принадлежит аргумент $x$, и использовать соответствующую формулу.

1. Чтобы найти $f(-1)$, заметим, что $x = -1$ принадлежит промежутку $-2 \le x \le 2$. Следовательно, используем первую формулу $f(x) = \frac{1}{2}x$:
$f(-1) = \frac{1}{2} \cdot (-1) = -0,5$.

2. Чтобы найти $f(2)$, заметим, что $x = 2$ также принадлежит промежутку $-2 \le x \le 2$. Снова используем первую формулу:
$f(2) = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$.

3. Чтобы найти $f(4)$, заметим, что $x = 4$ принадлежит промежутку $2 < x \le 4$. Используем вторую формулу $f(x) = 3(x - 3)^2$:
$f(4) = 3(4 - 3)^2 = 3 \cdot 1^2 = 3$.

Ответ: $f(-1) = -0,5$; $f(2) = 1$; $f(4) = 3$.

б) Постройте график функции y = f(x).

График функции состоит из двух частей.

1. На промежутке $[-2, 2]$ функция задается формулой $y = \frac{1}{2}x$. Это линейная функция, её график — отрезок прямой. Для построения отрезка найдем координаты его концов:
При $x = -2$, $y = \frac{1}{2}(-2) = -1$. Точка $(-2, -1)$.
При $x = 2$, $y = \frac{1}{2}(2) = 1$. Точка $(2, 1)$.
Соединяем эти две точки отрезком. Так как неравенство нестрогое, обе точки принадлежат графику (на графике они обозначаются закрашенными кружками).

2. На промежутке $(2, 4]$ функция задается формулой $y = 3(x-3)^2$. Это квадратичная функция, её график — часть параболы, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $x=3$.
Найдем координаты вершины: $y(3) = 3(3-3)^2 = 0$. Точка $(3, 0)$.
Найдем значения на концах промежутка:
При $x = 4$, $y = 3(4-3)^2 = 3$. Точка $(4, 3)$ принадлежит графику (закрашенный кружок).
При $x$, стремящемся к 2 справа, $y$ стремится к $3(2-3)^2 = 3$. Точка $(2, 3)$ не принадлежит графику (на графике она обозначается выколотым, или пустым, кружком), так как неравенство строгое ($x > 2$).
Итак, на этом промежутке мы строим часть параболы с вершиной в точке $(3, 0)$, проходящую от выколотой точки $(2, 3)$ до закрашенной точки $(4, 3)$.

График функции $y = f(x)$ представляет собой объединение отрезка прямой от $(-2, -1)$ до $(2, 1)$ и участка параболы с вершиной в $(3, 0)$, начинающегося в выколотой точке $(2, 3)$ и заканчивающегося в точке $(4, 3)$. В точке $x=2$ функция имеет разрыв.

Ответ: График функции построен на основе приведенного выше описания.

в) Перечислите свойства функции.

1. Область определения функции (множество всех допустимых значений $x$): $D(f) = [-2, 4]$.

2. Область значений функции (множество всех значений, которые принимает $y$): $E(f) = [-1, 3]$.

3. Четность/нечетность: Область определения $D(f) = [-2, 4]$ несимметрична относительно нуля, поэтому функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox, где $y=0$):
$\frac{1}{2}x = 0 \Rightarrow x = 0$.
$3(x-3)^2 = 0 \Rightarrow x = 3$.
Нули функции: $x=0$ и $x=3$.

5. Промежутки знакопостоянства:
Функция положительна ($f(x) > 0$) при $x \in (0, 2] \cup (2, 3) \cup (3, 4]$.
Функция отрицательна ($f(x) < 0$) при $x \in [-2, 0)$.

6. Промежутки монотонности:
Функция возрастает на промежутках $[-2, 2]$ и $[3, 4]$.
Функция убывает на промежутке $(2, 3]$.

7. Экстремумы функции:
Точка локального минимума: $x_{min} = 3$, значение в минимуме $y(3) = 0$.
Наименьшее значение функции: $y_{min} = -1$ при $x=-2$.
Наибольшее значение функции: $y_{max} = 3$ при $x=4$.

8. Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения, кроме точки $x=2$. В точке $x=2$ функция терпит разрыв первого рода (скачок).

Ответ: Свойства функции перечислены в пунктах 1-8.

21.34 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} -\frac{2}{x+1}, & \text{если } -3 \le x < -1; \\ -x^2, & \text{если } -1 \le x \le 2. \end{cases}$

a) Найдите $f(-1.5)$; $f(-1)$; $f(2)$.

б) Постройте график функции $y = f(x)$.

в) Перечислите свойства функции.

а) Найдите f(-1,5); f(-1); f(2).

Дана кусочно-заданная функция $f(x) = \begin{cases} -\frac{2}{x+1}, & \text{если } -3 \le x < -1; \\ -x^2, & \text{если } -1 \le x \le 2. \end{cases}$
Для вычисления значения функции в заданной точке необходимо сначала определить, какому из промежутков области определения принадлежит аргумент $x$.

1. Вычисление $f(-1,5)$
Значение $x = -1,5$ удовлетворяет условию $-3 \le -1,5 < -1$. Следовательно, для вычисления значения функции используем первую формулу: $f(x) = -\frac{2}{x+1}$.
Подставляем $x = -1,5$:
$f(-1,5) = -\frac{2}{-1,5+1} = -\frac{2}{-0,5} = 4$.

2. Вычисление $f(-1)$
Значение $x = -1$ удовлетворяет условию $-1 \le -1 \le 2$. Следовательно, для вычисления значения функции используем вторую формулу: $f(x) = -x^2$.
Подставляем $x = -1$:
$f(-1) = -(-1)^2 = -(1) = -1$.

3. Вычисление $f(2)$
Значение $x = 2$ удовлетворяет условию $-1 \le 2 \le 2$. Следовательно, используем вторую формулу: $f(x) = -x^2$.
Подставляем $x = 2$:
$f(2) = -(2)^2 = -4$.

Ответ: $f(-1,5) = 4$; $f(-1) = -1$; $f(2) = -4$.

б) Постройте график функции y = f(x).

График функции $y = f(x)$ состоит из двух частей, построенных на разных промежутках.

1. На промежутке $[-3, -1)$ строим график функции $y = -\frac{2}{x+1}$. Это ветвь гиперболы $y = -2/x$, смещенной на 1 единицу влево по оси абсцисс. Вертикальная асимптота графика — прямая $x = -1$.
Вычислим координаты нескольких точек для построения:
- Левая граница: $x = -3$, $y = -\frac{2}{-3+1} = 1$. Точка $(-3, 1)$ включена в график (сплошная точка).
- Промежуточная точка: $x = -2$, $y = -\frac{2}{-2+1} = 2$. Точка $(-2, 2)$.
- При приближении $x$ к $-1$ слева ($x \to -1^-$), знаменатель $(x+1)$ стремится к $0$ оставаясь отрицательным, значит $y = -\frac{2}{x+1} \to +\infty$.

2. На промежутке $[-1, 2]$ строим график функции $y = -x^2$. Это часть параболы, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в начале координат.
Вычислим координаты ключевых точек:
- Левая граница: $x = -1$, $y = -(-1)^2 = -1$. Точка $(-1, -1)$ включена в график (сплошная точка).
- Вершина параболы: $x = 0$, $y = -(0)^2 = 0$. Точка $(0, 0)$.
- Правая граница: $x = 2$, $y = -(2)^2 = -4$. Точка $(2, -4)$ включена в график (сплошная точка).

Объединяя эти две части, получаем итоговый график функции:

Ответ: График функции построен и представлен на рисунке.

в) Перечислите свойства функции.

1. Область определения функции: Объединение промежутков $[-3, -1)$ и $[-1, 2]$.
$D(f) = [-3, 2]$.

2. Область значений функции: На промежутке $[-3, -1)$ значения изменяются от $f(-3)=1$ до $+\infty$. На промежутке $[-1, 2]$ значения изменяются от $f(2)=-4$ до $f(0)=0$.
$E(f) = [-4, 0] \cup [1, +\infty)$.

3. Непрерывность: Функция непрерывна на каждом из интервалов $[-3, -1)$ и $[-1, 2]$. В точке $x = -1$ функция имеет разрыв второго рода, так как левый предел бесконечен ($\lim_{x \to -1^-} f(x) = +\infty$), а значение в точке конечно ($f(-1)=-1$).

4. Нули функции: $f(x) = 0$.
- На $[-3, -1)$ уравнение $-\frac{2}{x+1} = 0$ не имеет решений.
- На $[-1, 2]$ уравнение $-x^2 = 0$ имеет решение $x=0$.
Единственный нуль функции: $x = 0$.

5. Промежутки знакопостоянства:
- $f(x) > 0$ при $x \in [-3, -1)$, так как на этом промежутке $x+1 < 0$ и $-\frac{2}{x+1} > 0$.
- $f(x) < 0$ при $x \in [-1, 0) \cup (0, 2]$, так как на этом промежутке $-x^2 \le 0$ и равно нулю только при $x=0$.

6. Промежутки монотонности (возрастания и убывания):
- Функция возрастает на промежутках $[-3, -1)$ (производная $y' = \frac{2}{(x+1)^2} > 0$) и $[-1, 0]$ (производная $y' = -2x > 0$).
- Функция убывает на промежутке $[0, 2]$ (производная $y' = -2x < 0$).

7. Точки экстремума:
- $x=0$ — точка локального максимума, $y_{max} = f(0) = 0$.
- Наибольшего значения функция не имеет, так как неограничена сверху.
- Наименьшее значение функции достигается в точке $x=2$, $y_{min} = f(2) = -4$.

8. Четность и нечетность: Область определения $D(f) = [-3, 2]$ несимметрична относительно нуля, поэтому функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего вида).

Ответ: Основные свойства функции перечислены в пунктах 1-8.