Номер 21.30, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 21. Как построить график функции у = f(х+l), если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 21.30, страница 125.

Условие.

21.30 a) $2(x-1)^2 = 2x + 2;$

б) $-4(x+3)^2 = -x;$

в) $-(x+2)^2 = x;$

г) $2(x-2)^2 = 8.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $2(x - 1)^2 = 2x + 2$

Сначала разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить его:

$(x - 1)^2 = x + 1$

Теперь раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 - 2x + 1 = x + 1$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 2x - x + 1 - 1 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 3x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 3) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$

$x - 3 = 0 \Rightarrow x_2 = 3$

Ответ: $0; 3$.

б) $-4(x + 3)^2 = -x$

Умножим обе части уравнения на -1:

$4(x + 3)^2 = x$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$4(x^2 + 6x + 9) = x$

Раскроем скобки, умножив каждый член на 4:

$4x^2 + 24x + 36 = x$

Перенесем все члены в левую часть:

$4x^2 + 24x - x + 36 = 0$

$4x^2 + 23x + 36 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 23^2 - 4 \cdot 4 \cdot 36 = 529 - 576 = -47$

Так как дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

в) $-(x + 2)^2 = x$

Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы:

$-(x^2 + 4x + 4) = x$

Уберем скобки, поменяв знаки на противоположные:

$-x^2 - 4x - 4 = x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:

$0 = x^2 + 4x + x + 4$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 5x + 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета. Сумма корней равна $-5$, а их произведение равно $4$. Легко подобрать корни:

$x_1 = -1$

$x_2 = -4$

Можно также решить через дискриминант:

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-5 + 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-5 - 3}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Ответ: $-4; -1$.

г) $2(x - 2)^2 = 8$

Разделим обе части уравнения на 2:

$(x - 2)^2 = 4$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Не забываем, что корень из 4 может быть как 2, так и -2:

$x - 2 = 2$ или $x - 2 = -2$

Решим каждое из этих линейных уравнений:

1) $x - 2 = 2 \Rightarrow x = 2 + 2 \Rightarrow x_1 = 4$

2) $x - 2 = -2 \Rightarrow x = -2 + 2 \Rightarrow x_2 = 0$

Ответ: $0; 4$.