Номер 21.25, страница 124, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 21. Как построить график функции у = f(х+l), если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 21.25, страница 124.

Условие.

21.25 Постройте график функции $y = -\frac{6}{x-2}$.

а) Найдите значения $y$ при $x = -1; 0; 3$.

б) Найдите значения $x$, если $y = 3; -1; -2$.

в) Исследуйте функцию на монотонность.

г) Напишите уравнения асимптот данной гиперболы.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для построения графика функции $y = -\frac{6}{x-2}$ необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить асимптоты.
График функции — гипербола. Вертикальная асимптота находится из условия равенства знаменателя нулю: $x - 2 = 0$, откуда $x = 2$.
Горизонтальная асимптота находится при поиске предела функции при $x \to \pm\infty$: $\lim_{x \to \pm\infty} \left(-\frac{6}{x-2}\right) = 0$, откуда $y = 0$.

2. Определить расположение ветвей.
Данный график получен из графика $y = -\frac{6}{x}$ сдвигом на 2 единицы вправо. Так как коэффициент перед дробью $k=-6$ отрицателен, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях относительно нового центра — точки пересечения асимптот $(2, 0)$.

3. Найти опорные точки для построения.
Составим таблицу значений для нескольких точек:
При $x = -1$, $y = -\frac{6}{-1-2} = 2$. Точка $(-1, 2)$.
При $x = 0$, $y = -\frac{6}{0-2} = 3$. Точка $(0, 3)$.
При $x = 1$, $y = -\frac{6}{1-2} = 6$. Точка $(1, 6)$.
При $x = 3$, $y = -\frac{6}{3-2} = -6$. Точка $(3, -6)$.
При $x = 4$, $y = -\frac{6}{4-2} = -3$. Точка $(4, -3)$.
При $x = 5$, $y = -\frac{6}{5-2} = -2$. Точка $(5, -2)$.

На координатной плоскости строятся асимптоты $x=2$ и $y=0$, наносятся вычисленные точки, которые затем соединяются плавными линиями, образуя ветви гиперболы.

а) Найдите значения y при x = -1; 0; 3.

Подставляем заданные значения $x$ в уравнение функции $y = -\frac{6}{x-2}$:
При $x = -1$: $y = -\frac{6}{-1 - 2} = -\frac{6}{-3} = 2$.
При $x = 0$: $y = -\frac{6}{0 - 2} = -\frac{6}{-2} = 3$.
При $x = 3$: $y = -\frac{6}{3 - 2} = -\frac{6}{1} = -6$.
Ответ: при $x=-1$, $y=2$; при $x=0$, $y=3$; при $x=3$, $y=-6$.

б) Найдите значения x, если y = 3; -1; -2.

Подставляем заданные значения $y$ в уравнение функции и решаем его относительно $x$:
При $y = 3$:
$3 = -\frac{6}{x-2}$
$3(x-2) = -6$
$x-2 = -2$
$x = 0$.

При $y = -1$:
$-1 = -\frac{6}{x-2}$
$1 = \frac{6}{x-2}$
$x-2 = 6$
$x = 8$.

При $y = -2$:
$-2 = -\frac{6}{x-2}$
$2(x-2) = 6$
$x-2 = 3$
$x = 5$.
Ответ: при $y=3$, $x=0$; при $y=-1$, $x=8$; при $y=-2$, $x=5$.

в) Исследуйте функцию на монотонность.

Область определения функции $D(y): x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$, то есть $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.
Для исследования монотонности найдем производную функции:
$y' = \left(-\frac{6}{x-2}\right)' = \left(-6(x-2)^{-1}\right)' = -6 \cdot (-1)(x-2)^{-2} \cdot (x-2)' = \frac{6}{(x-2)^2}$.
Знаменатель $(x-2)^2$ всегда положителен для любого $x$ из области определения. Числитель $6$ также положителен.
Следовательно, производная $y' > 0$ на всей области определения.
Это означает, что функция строго возрастает на каждом из интервалов своей области определения.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$.

г) Напишите уравнения асимптот данной гиперболы.

Вертикальная асимптота — это прямая, к которой стремится график функции, когда знаменатель дроби обращается в ноль.
$x - 2 = 0 \implies x = 2$.
Горизонтальная асимптота — это прямая, к которой стремится график функции, когда $x$ стремится к бесконечности.
$\lim_{x \to \pm\infty} \left(-\frac{6}{x-2}\right) = 0$, следовательно, $y = 0$.
Ответ: вертикальная асимптота $x=2$, горизонтальная асимптота $y=0$.