Номер 21.22, страница 124, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 21. Как построить график функции у = f(х+l), если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 21.22, страница 124.

Условие.

21.22 Постройте график функции $y = 2(x - 1)^2$.

а) Найдите значения $y$ при $x = -1; 0; 1$.

б) Найдите значения $x$, если $y = 2; 8; 0$.

в) Укажите промежутки возрастания и убывания функции.

г) Напишите уравнение оси симметрии параболы.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для построения графика функции $y=2(x-1)^2$ и ответа на вопросы проанализируем её свойства. Это квадратичная функция, её график — парабола. Уравнение представлено в виде $y=a(x-h)^2+k$, где $a=2$, $h=1$, $k=0$.

• Вершина параболы находится в точке $(h, k)$, то есть $(1, 0)$.
• Так как коэффициент $a=2 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
• Ось симметрии параболы — вертикальная прямая $x=h$, то есть $x=1$.

Для построения графика найдем несколько точек.

а) Найдите значения у при x = -1; 0; 1.

Подставим заданные значения $x$ в уравнение функции:
При $x = -1$: $y = 2(-1 - 1)^2 = 2(-2)^2 = 2 \cdot 4 = 8$.
При $x = 0$: $y = 2(0 - 1)^2 = 2(-1)^2 = 2 \cdot 1 = 2$.
При $x = 1$: $y = 2(1 - 1)^2 = 2(0)^2 = 0$.
Ответ: при $x=-1$ $y=8$; при $x=0$ $y=2$; при $x=1$ $y=0$.

б) Найдите значения х, если у = 2; 8; 0.

Решим уравнения для каждого значения $y$:
Если $y = 2$:
$2 = 2(x - 1)^2$
$1 = (x - 1)^2$
$x - 1 = 1$ или $x - 1 = -1$
$x = 2$ или $x = 0$.

Если $y = 8$:
$8 = 2(x - 1)^2$
$4 = (x - 1)^2$
$x - 1 = 2$ или $x - 1 = -2$
$x = 3$ или $x = -1$.

Если $y = 0$:
$0 = 2(x - 1)^2$
$0 = (x - 1)^2$
$x - 1 = 0$
$x = 1$.
Ответ: при $y=2$ значения $x=0$ и $x=2$; при $y=8$ значения $x=-1$ и $x=3$; при $y=0$ значение $x=1$.

в) Укажите промежутки возрастания и убывания функции.

Вершина параболы находится в точке $x=1$. Так как ветви параболы направлены вверх, функция убывает на промежутке до вершины и возрастает на промежутке после вершины.
Функция убывает при $x \in (-\infty; 1]$.
Функция возрастает при $x \in [1; +\infty)$.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 1]$ и возрастает на промежутке $[1; +\infty)$.

г) Напишите уравнение оси симметрии параболы.

Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через ее вершину. Вершина параболы $y = 2(x - 1)^2$ находится в точке $(1, 0)$. Следовательно, уравнение оси симметрии — это $x=1$.
Ответ: $x=1$.