Номер 21.16, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 21. Как построить график функции у = f(х+l), если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 21.16, страница 123.

Условие.

21.16 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции

$y = -5(x+4)^2$:

а) на отрезке $[-5; -3]$;
б) на луче $[-4; +\infty)$;
в) на интервале $(-5; -3)$;
г) на луче $(-\infty; 0]$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Данная функция $y = -5(x+4)^2$ является квадратичной. Ее график — это парабола, ветви которой направлены вниз, поскольку коэффициент перед скобкой $a = -5$ отрицательный. Вершина параболы находится в точке, где выражение в скобках равно нулю, то есть при $x = -4$. Координаты вершины: $(-4; y(-4))$.

$y(-4) = -5(-4+4)^2 = -5 \cdot 0^2 = 0$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-4; 0)$. Так как ветви параболы направлены вниз, в этой точке функция достигает своего глобального максимума, равного 0.

а) на отрезке [-5; -3]

Отрезок $[-5; -3]$ содержит точку вершины параболы $x = -4$. Следовательно, наибольшее значение функции на этом отрезке достигается в вершине и равно 0.

$y_{наибольшее} = y(-4) = 0$.

Наименьшее значение непрерывной функции на отрезке достигается либо в точке локального минимума, либо на концах отрезка. Так как у данной функции нет локальных минимумов, найдем значения функции на концах отрезка:

$y(-5) = -5(-5 + 4)^2 = -5(-1)^2 = -5 \cdot 1 = -5$.

$y(-3) = -5(-3 + 4)^2 = -5(1)^2 = -5 \cdot 1 = -5$.

Сравнивая эти значения, получаем, что наименьшее значение функции на отрезке равно -5.

Ответ: наименьшее значение -5, наибольшее значение 0.

б) на луче [-4; +∞)

Луч $[-4; +\infty)$ начинается в точке вершины параболы $x = -4$. В этой точке функция принимает свое наибольшее значение.

$y_{наибольшее} = y(-4) = 0$.

На промежутке $(-4; +\infty)$ функция убывает. По мере увеличения $x$, значение $y$ будет уменьшаться, стремясь к минус бесконечности ($y \to -\infty$ при $x \to +\infty$). Следовательно, наименьшего значения на данном луче не существует.

Ответ: наименьшего значения не существует, наибольшее значение 0.

в) на интервале (-5; -3)

Интервал $(-5; -3)$ содержит точку вершины параболы $x = -4$. Следовательно, наибольшее значение функции на этом интервале достигается в вершине.

$y_{наибольшее} = y(-4) = 0$.

Поскольку интервал открытый, значения на его концах не включаются. При приближении $x$ к концам интервала (к -5 и к -3), значения функции стремятся к -5, но никогда его не достигают. То есть, $y > -5$ для всех $x$ из интервала $(-5; -3)$. Таким образом, наименьшего значения на данном интервале не существует (хотя инфимум, или точная нижняя грань, равен -5).

Ответ: наименьшего значения не существует, наибольшее значение 0.

г) на луче (-∞; 0]

Луч $(-\infty; 0]$ содержит точку вершины параболы $x = -4$. Следовательно, наибольшее значение функции на этом луче достигается в вершине.

$y_{наибольшее} = y(-4) = 0$.

На промежутке $(-\infty; -4]$ функция возрастает от $-\infty$ до 0. На промежутке $[-4; 0]$ функция убывает от 0 до $y(0) = -5(0+4)^2 = -80$. Однако, так как при $x \to -\infty$ значение $y \to -\infty$, функция не ограничена снизу на данном луче. Следовательно, наименьшего значения не существует.

Ответ: наименьшего значения не существует, наибольшее значение 0.