Номер 21.15, страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 21. Как построить график функции у = f(х+l), если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 21.15, страница 122.

Условие.

21.15 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции

$y = 2(x - 1)^2;$

а) на отрезке $[0; 2];$

б) на луче $(-\infty; 1];$

в) на луче $[0; +\infty);$

г) на отрезке $[1; 2].$

Рис. 37

Рис. 38

Рис. 39

Рис. 40

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = 2(x-1)^2$ на различных промежутках, проанализируем её свойства.

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициент при квадрате разности равен 2 (положительный), значит, ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке, где выражение в скобках равно нулю, то есть $x - 1 = 0$, откуда $x = 1$. Ордината вершины: $y(1) = 2(1 - 1)^2 = 0$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1; 0)$. В этой точке функция достигает своего глобального минимума.

На промежутке $(-\infty; 1]$ функция убывает.

На промежутке $[1; +\infty)$ функция возрастает.

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно.

а) на отрезке [0; 2]

Интервал $[0; 2]$ содержит точку минимума $x=1$. Следовательно, наименьшее значение функции на этом отрезке будет в этой точке.

$y_{наим} = y(1) = 2(1 - 1)^2 = 0$.

Наибольшее значение на отрезке достигается на одном из его концов. Найдем значения функции в точках $x=0$ и $x=2$:

$y(0) = 2(0 - 1)^2 = 2(-1)^2 = 2 \cdot 1 = 2$.

$y(2) = 2(2 - 1)^2 = 2(1)^2 = 2 \cdot 1 = 2$.

Наибольшее значение равно 2.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 2.

б) на луче $(-\infty; 1]$

На этом промежутке функция монотонно убывает до точки $x=1$. Следовательно, наименьшее значение достигается в крайней правой точке промежутка, то есть при $x=1$.

$y_{наим} = y(1) = 2(1 - 1)^2 = 0$.

Когда $x \to -\infty$, значение $(x-1)^2 \to +\infty$, и, следовательно, $y \to +\infty$. Это означает, что функция не ограничена сверху на данном луче.

Наибольшего значения не существует.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшего значения не существует.

в) на луче $[0; +\infty)$

Этот промежуток включает в себя точку минимума параболы $x=1$. Значит, наименьшее значение функции на этом луче равно значению в вершине.

$y_{наим} = y(1) = 0$.

Когда $x \to +\infty$, значение $(x-1)^2 \to +\infty$, и, следовательно, $y \to +\infty$. Функция не ограничена сверху.

Наибольшего значения не существует.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшего значения не существует.

г) на отрезке [1; 2]

На этом промежутке функция монотонно возрастает, так как он является частью луча $[1; +\infty)$.

Следовательно, наименьшее значение достигается в левой крайней точке отрезка, при $x=1$.

$y_{наим} = y(1) = 2(1 - 1)^2 = 0$.

Наибольшее значение достигается в правой крайней точке отрезка, при $x=2$.

$y_{наиб} = y(2) = 2(2 - 1)^2 = 2(1)^2 = 2$.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 2.