Номер 21.13, страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 21. Как построить график функции у = f(х+l), если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 21.13, страница 122.

Условие.

21.13 Напишите уравнение гиперболы $y = \frac{k}{x + l}$, изображённой:

а) на рис. 33;

б) на рис. 34;

в) на рис. 35;

г) на рис. 36.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для нахождения уравнения гиперболы вида $y = \frac{k}{x+l}$ необходимо определить параметры $l$ и $k$. Параметр $l$ определяет положение вертикальной асимптоты, которая задается уравнением $x = -l$. Параметр $k$ определяет "растяжение" и расположение ветвей гиперболы.

а) на рис. 33;

1. На графике видно, что вертикальная асимптота — это прямая $x = 1$. Из уравнения асимптоты $x = -l$ следует, что $-l = 1$, откуда $l = -1$.
Таким образом, уравнение гиперболы принимает вид $y = \frac{k}{x-1}$.
2. Для нахождения коэффициента $k$ выберем на графике точку с целочисленными координатами, например, точку $(2, 1)$. Подставим её координаты в полученное уравнение:
$1 = \frac{k}{2-1}$
$1 = \frac{k}{1}$
$k = 1$.
3. Итоговое уравнение гиперболы: $y = \frac{1}{x-1}$.
Для проверки можно использовать другую точку с графика, например, $(0, -1)$. Подстановка даёт: $-1 = \frac{1}{0-1}$, что является верным равенством.

Ответ: $y = \frac{1}{x-1}$

б) на рис. 34;

1. Вертикальная асимптота графика на рисунке 34 — это прямая $x = -2$. Из уравнения $x = -l$ получаем $-l = -2$, откуда $l = 2$.
Уравнение гиперболы имеет вид $y = \frac{k}{x+2}$.
2. Выберем на графике точку с целочисленными координатами, например, $(-3, 1)$. Подставим её координаты в уравнение:
$1 = \frac{k}{-3+2}$
$1 = \frac{k}{-1}$
$k = -1$.
3. Итоговое уравнение гиперболы: $y = \frac{-1}{x+2}$.
Для проверки используем точку $(-1, -1)$: $-1 = \frac{-1}{-1+2}$, что верно.

Ответ: $y = \frac{-1}{x+2}$

в) на рис. 35;

1. Вертикальная асимптота графика на рисунке 35 — это прямая $x = 2$. Из уравнения $x = -l$ следует, что $-l = 2$, то есть $l = -2$.
Уравнение гиперболы принимает вид $y = \frac{k}{x-2}$.
2. Выберем на графике точку с целочисленными координатами, например, $(3, 2)$. Подставим её координаты в уравнение:
$2 = \frac{k}{3-2}$
$2 = \frac{k}{1}$
$k = 2$.
3. Итоговое уравнение гиперболы: $y = \frac{2}{x-2}$.
Проверим по точке $(4, 1)$: $1 = \frac{2}{4-2}$, что верно.

Ответ: $y = \frac{2}{x-2}$

г) на рис. 36.

1. Вертикальная асимптота графика на рисунке 36 — это прямая $x = -2$. Из уравнения $x = -l$ следует, что $-l = -2$, то есть $l = 2$.
Уравнение гиперболы имеет вид $y = \frac{k}{x+2}$.
2. Выберем на графике точку с целочисленными координатами, например, $(-3, 2)$. Подставим её координаты в уравнение:
$2 = \frac{k}{-3+2}$
$2 = \frac{k}{-1}$
$k = -2$.
3. Итоговое уравнение гиперболы: $y = \frac{-2}{x+2}$.
Проверим по точке $(-1, -2)$: $-2 = \frac{-2}{-1+2}$, что верно.

Ответ: $y = \frac{-2}{x+2}$