Номер 21.7, страница 120, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 21. Как построить график функции у = f(х+l), если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 21.7, страница 120.

Условие.

Постройте график функции и укажите, где она убывает, где воз-растает:

21.7 a) $y = 2(x + 1)^2$;

б) $y = -(x - 3)^2$;

в) $y = 3(x - 5)^2$;

г) $y = -4(x + 2)^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $y = 2(x + 1)^2$

Графиком данной функции является парабола. Уравнение представлено в виде $y=a(x-x_0)^2+y_0$, где $a=2$, $x_0=-1$, $y_0=0$. Вершина параболы находится в точке с координатами $(-1, 0)$. Так как коэффициент $a=2>0$, ветви параболы направлены вверх. Ось симметрии — прямая $x=-1$.

Для построения графика можно использовать метод преобразования графиков: сдвинуть график параболы $y=x^2$ на 1 единицу влево по оси абсцисс, а затем растянуть его от оси Ox в 2 раза. Также можно построить график по точкам. Кроме вершины $(-1, 0)$, найдем еще несколько: при $x=0$, $y=2(0+1)^2=2$, точка $(0, 2)$; по симметрии точка $(-2, 2)$ также принадлежит графику; при $x=1$, $y=2(1+1)^2=8$, точка $(1, 8)$; по симметрии точка $(-3, 8)$ также принадлежит графику. Соединив точки плавной линией, получим искомый график.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция убывает на промежутке слева от вершины и возрастает на промежутке справа от нее. Следовательно, функция убывает при $x \in (-\infty; -1]$ и возрастает при $x \in [-1; \infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; -1]$, возрастает на промежутке $[-1; \infty)$.

б) $y = -(x - 3)^2$

Графиком функции является парабола. Уравнение представлено в виде $y=a(x-x_0)^2+y_0$, где $a=-1$, $x_0=3$, $y_0=0$. Вершина параболы находится в точке с координатами $(3, 0)$. Так как коэффициент $a=-1<0$, ветви параболы направлены вниз. Ось симметрии — прямая $x=3$.

Для построения графика сдвигаем параболу $y=x^2$ на 3 единицы вправо по оси Ox, а затем отражаем ее симметрично относительно оси Ox. Для построения по точкам используем вершину $(3, 0)$ и контрольные точки: при $x=4$, $y=-(4-3)^2=-1$, точка $(4, -1)$; симметричная ей точка $(2, -1)$; при $x=5$, $y=-(5-3)^2=-4$, точка $(5, -4)$; симметричная ей точка $(1, -4)$. Соединяем точки плавной кривой.

Поскольку ветви параболы направлены вниз, функция возрастает на промежутке слева от вершины и убывает на промежутке справа от нее. Следовательно, функция возрастает при $x \in (-\infty; 3]$ и убывает при $x \in [3; \infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 3]$, убывает на промежутке $[3; \infty)$.

в) $y = 3(x - 5)^2$

Графиком функции является парабола. Уравнение представлено в виде $y=a(x-x_0)^2+y_0$, где $a=3$, $x_0=5$, $y_0=0$. Вершина параболы находится в точке с координатами $(5, 0)$. Так как коэффициент $a=3>0$, ветви параболы направлены вверх. Ось симметрии — прямая $x=5$.

Для построения графика сдвигаем параболу $y=x^2$ на 5 единиц вправо по оси Ox, а затем растягиваем ее от оси Ox в 3 раза. Для построения по точкам используем вершину $(5, 0)$ и контрольные точки: при $x=6$, $y=3(6-5)^2=3$, точка $(6, 3)$; симметричная ей точка $(4, 3)$; при $x=7$, $y=3(7-5)^2=12$, точка $(7, 12)$; симметричная ей точка $(3, 12)$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция убывает на промежутке слева от вершины и возрастает на промежутке справа от нее. Таким образом, функция убывает при $x \in (-\infty; 5]$ и возрастает при $x \in [5; \infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 5]$, возрастает на промежутке $[5; \infty)$.

г) $y = -4(x + 2)^2$

Графиком функции является парабола. Уравнение представлено в виде $y=a(x-x_0)^2+y_0$, где $a=-4$, $x_0=-2$, $y_0=0$. Вершина параболы находится в точке с координатами $(-2, 0)$. Так как коэффициент $a=-4<0$, ветви параболы направлены вниз. Ось симметрии — прямая $x=-2$.

Для построения графика сдвигаем параболу $y=x^2$ на 2 единицы влево по оси Ox, растягиваем от оси Ox в 4 раза и отражаем симметрично относительно оси Ox. Для построения по точкам используем вершину $(-2, 0)$ и контрольные точки: при $x=-1$, $y=-4(-1+2)^2=-4$, точка $(-1, -4)$; симметричная ей точка $(-3, -4)$; при $x=0$, $y=-4(0+2)^2=-16$, точка $(0, -16)$; симметричная ей точка $(-4, -16)$.

Поскольку ветви параболы направлены вниз, функция возрастает на промежутке слева от вершины и убывает на промежутке справа от нее. Таким образом, функция возрастает при $x \in (-\infty; -2]$ и убывает при $x \in [-2; \infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; -2]$, убывает на промежутке $[-2; \infty)$.