Номер 21.11, страница 120, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 21. Как построить график функции у = f(х+l), если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 21.11, страница 120.

Условие.

21.11 Напишите уравнение параболы $y = a(x + l)^2$, изображённой:

а) на рис. 25;

б) на рис. 26;

в) на рис. 27;

г) на рис. 28.

Рис. 25

Рис. 26

Рис. 27

Рис. 28

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Общий вид уравнения параболы, представленного в задании, — $y = a(x + l)^2$. Вершина такой параболы находится в точке с координатами $(-l, 0)$. Чтобы найти уравнение для каждой из парабол, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ по графику. Так как $y_0 = 0$ для всех графиков, вершина имеет координаты $(-l, 0)$.
2. Найти значение $l$ из соотношения $x_0 = -l$.
3. Выбрать на графике любую другую точку с известными координатами $(x_1, y_1)$, через которую проходит парабола.
4. Подставить значения $l$, $x_1$ и $y_1$ в уравнение $y = a(x + l)^2$ и вычислить коэффициент $a$.
5. Записать итоговое уравнение параболы.

а) на рис. 25

Вершина параболы находится в точке $(2, 0)$.

Следовательно, $-l = 2$, откуда $l = -2$. Уравнение принимает вид $y = a(x - 2)^2$.

Парабола проходит через точку $(0, 4)$. Подставим эти координаты в уравнение, чтобы найти $a$:

$4 = a(0 - 2)^2$

$4 = a(-2)^2$

$4 = 4a$

$a = 1$

Таким образом, уравнение параболы: $y = (x - 2)^2$.

Ответ: $y = (x - 2)^2$.

б) на рис. 26

Вершина параболы находится в точке $(-1, 0)$. Ветви направлены вниз, значит, коэффициент $a$ будет отрицательным.

Следовательно, $-l = -1$, откуда $l = 1$. Уравнение принимает вид $y = a(x + 1)^2$.

Парабола проходит через точку $(0, -1)$. Подставим эти координаты в уравнение:

$-1 = a(0 + 1)^2$

$-1 = a(1)^2$

$a = -1$

Таким образом, уравнение параболы: $y = -(x + 1)^2$.

Ответ: $y = -(x + 1)^2$.

в) на рис. 27

Вершина параболы находится в точке $(-2, 0)$.

Следовательно, $-l = -2$, откуда $l = 2$. Уравнение принимает вид $y = a(x + 2)^2$.

Парабола проходит через точку $(0, 4)$. Подставим эти координаты в уравнение:

$4 = a(0 + 2)^2$

$4 = a(2)^2$

$4 = 4a$

$a = 1$

Таким образом, уравнение параболы: $y = (x + 2)^2$.

Ответ: $y = (x + 2)^2$.

г) на рис. 28

Вершина параболы находится в точке $(4, 0)$. Ветви направлены вниз, значит, коэффициент $a$ будет отрицательным.

Следовательно, $-l = 4$, откуда $l = -4$. Уравнение принимает вид $y = a(x - 4)^2$.

Парабола проходит через точку $(0, -8)$. Подставим эти координаты в уравнение:

$-8 = a(0 - 4)^2$

$-8 = a(-4)^2$

$-8 = 16a$

$a = \frac{-8}{16} = -\frac{1}{2}$

Таким образом, уравнение параболы: $y = -\frac{1}{2}(x - 4)^2$.

Ответ: $y = -\frac{1}{2}(x - 4)^2$.