Номер 21.18, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 21. Как построить график функции у = f(х+l), если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 21.18, страница 123.

Условие.

21.18 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = - \frac{2}{x + 2}$:

а) на отрезке $[-4; -3]$;

б) на луче $[2; +\infty)$;

в) на полуинтервале $(-2; 0]$;

г) на отрезке $[-1; 0]$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = -\frac{2}{x+2}$ на заданных промежутках, сначала исследуем ее поведение.

Область определения функции: все действительные числа, кроме $x = -2$. То есть, $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

Найдем производную функции, чтобы определить интервалы монотонности:
$y' = \left(-\frac{2}{x+2}\right)' = -2 \cdot \left((x+2)^{-1}\right)' = -2 \cdot (-1) \cdot (x+2)^{-2} \cdot (x+2)' = 2(x+2)^{-2} = \frac{2}{(x+2)^2}$.

Поскольку $(x+2)^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, производная $y' = \frac{2}{(x+2)^2}$ всегда положительна ($y' > 0$).
Это означает, что функция $y = -\frac{2}{x+2}$ является строго возрастающей на каждом из интервалов своей области определения: $(-\infty; -2)$ и $(-2; +\infty)$.

Теперь рассмотрим каждый из заданных промежутков.

а) на отрезке [-4; -3]
Данный отрезок полностью лежит в интервале $(-\infty; -2)$, на котором функция непрерывна и возрастает. Следовательно, наименьшее значение функция принимает на левом конце отрезка ($x=-4$), а наибольшее — на правом ($x=-3$).
Вычислим значения функции на концах отрезка:
$y(-4) = -\frac{2}{-4 + 2} = -\frac{2}{-2} = 1$.
$y(-3) = -\frac{2}{-3 + 2} = -\frac{2}{-1} = 2$.
Ответ: $y_{наим} = 1$, $y_{наиб} = 2$.

б) на луче [2; +∞)
Данный луч полностью лежит в интервале $(-2; +\infty)$, на котором функция непрерывна и возрастает.
Наименьшее значение функция принимает в начальной точке луча $x=2$:
$y_{наим} = y(2) = -\frac{2}{2 + 2} = -\frac{2}{4} = -0.5$.
Поскольку функция возрастает на этом луче и стремится к своей горизонтальной асимптоте $y=0$ при $x \to +\infty$ ($ \lim_{x \to +\infty} -\frac{2}{x+2} = 0 $), она принимает значения в промежутке $[-0.5; 0)$. Значение 0 никогда не достигается, поэтому наибольшего значения на данном луче не существует.
Ответ: наименьшее значение равно -0.5, наибольшего значения не существует.

в) на полуинтервале (-2; 0]
Данный полуинтервал лежит в интервале $(-2; +\infty)$, на котором функция непрерывна и возрастает.
Наибольшее значение функция принимает на правом конце полуинтервала $x=0$:
$y_{наиб} = y(0) = -\frac{2}{0 + 2} = -\frac{2}{2} = -1$.
Левый конец $x=-2$ не принадлежит полуинтервалу. При приближении $x$ к -2 справа ($x \to -2^+$), знаменатель $x+2$ стремится к 0, оставаясь положительным, значит вся дробь $\frac{2}{x+2}$ стремится к $+\infty$, а функция $y = -\frac{2}{x+2}$ стремится к $-\infty$.
$ \lim_{x \to -2^+} -\frac{2}{x+2} = -\infty $.
Следовательно, функция не ограничена снизу на данном полуинтервале, и наименьшего значения не существует.
Ответ: наибольшее значение равно -1, наименьшего значения не существует.

г) на отрезке [-1; 0]
Данный отрезок полностью лежит в интервале $(-2; +\infty)$, на котором функция непрерывна и возрастает. Следовательно, наименьшее значение функция принимает на левом конце отрезка ($x=-1$), а наибольшее — на правом ($x=0$).
Вычислим значения функции на концах отрезка:
$y_{наим} = y(-1) = -\frac{2}{-1 + 2} = -\frac{2}{1} = -2$.
$y_{наиб} = y(0) = -\frac{2}{0 + 2} = -\frac{2}{2} = -1$.
Ответ: $y_{наим} = -2$, $y_{наиб} = -1$.