Номер 21.20, страница 124, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 21. Как построить график функции у = f(х+l), если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 21.20, страница 124.

Условие.

21.20 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = -\sqrt{x - 1}$:

a) на отрезке [2; 5];

б) на полуинтервале [1; 4).

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = -\sqrt{x-1}$ проанализируем её свойства.
1. Область определения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x - 1 \ge 0$, следовательно, $x \ge 1$. Область определения функции: $D(y) = [1; +\infty)$.
2. Монотонность. Можно исследовать функцию на монотонность с помощью производной. $y' = \left(-\sqrt{x-1}\right)' = -\frac{1}{2\sqrt{x-1}}$. На всей области определения (для $x > 1$) производная $y' < 0$, так как знаменатель $2\sqrt{x-1}$ всегда положителен. Это означает, что функция $y = -\sqrt{x-1}$ является строго монотонно убывающей на всей своей области определения.

а) на отрезке [2; 5];

Поскольку функция монотонно убывает, на отрезке $[2; 5]$ она достигает своего наибольшего значения в левой границе отрезка, а наименьшего — в правой.
Наибольшее значение функции достигается при $x=2$: $y_{наиб} = y(2) = -\sqrt{2-1} = -\sqrt{1} = -1$.
Наименьшее значение функции достигается при $x=5$: $y_{наим} = y(5) = -\sqrt{5-1} = -\sqrt{4} = -2$.
Ответ: $y_{наим} = -2$, $y_{наиб} = -1$.

б) на полуинтервале [1; 4);

На полуинтервале $[1; 4)$ функция также является монотонно убывающей.
Наибольшее значение достигается в левой, включенной в интервал, точке $x=1$: $y_{наиб} = y(1) = -\sqrt{1-1} = -\sqrt{0} = 0$.
Поскольку правая граница интервала, точка $x=4$, не принадлежит полуинтервалу (интервал открыт справа), наименьшее значение на этом полуинтервале не достигается. Функция стремится к своему значению в этой точке, но никогда его не достигает. Значение, к которому стремится функция, является её точной нижней гранью (инфимумом), но не минимумом.
При $x \to 4^-$, значение функции $y(x) \to -\sqrt{4-1} = -\sqrt{3}$. Так как $x < 4$, то $y(x) > -\sqrt{3}$. Для любого значения функции из промежутка $(-\sqrt{3}; 0]$ всегда можно найти еще меньшее значение, также принадлежащее этому промежутку. Таким образом, наименьшего значения у функции на данном полуинтервале нет.
Ответ: наибольшее значение функции равно 0, наименьшего значения не существует.