Номер 21.27, страница 124, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 21. Как построить график функции у = f(х+l), если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 21.27, страница 124.

Условие.

21.27 Постройте график функции $y = |x + 1|$. С помощью графика найдите:

а) значения y при x = -1; 0; 4;

б) значения x, если y = 1; 0; 5;

в) промежутки возрастания и убывания функции;

г) значения аргумента, удовлетворяющие условию $y \le 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для построения графика функции $y = |x + 1|$ раскроем модуль. По определению абсолютной величины:

$y = |x+1| = \begin{cases} x + 1, & \text{если } x + 1 \ge 0, \text{ то есть } x \ge -1 \\-(x + 1), & \text{если } x + 1 < 0, \text{ то есть } x < -1\end{cases}$

Таким образом, график функции состоит из двух лучей, которые встречаются в одной точке — вершине. Координаты вершины можно найти, приравняв подмодульное выражение к нулю:

$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$.

При $x = -1$, значение функции $y = |-1 + 1| = 0$. Следовательно, вершина графика находится в точке $(-1, 0)$.

Для построения лучей найдем еще по одной точке на каждом из них:

• Для луча $y = x + 1$ (при $x \ge -1$), возьмем $x = 0$. Тогда $y = 0 + 1 = 1$. Получаем точку $(0, 1)$.
• Для луча $y = -x - 1$ (при $x < -1$), возьмем $x = -2$. Тогда $y = -(-2) - 1 = 2 - 1 = 1$. Получаем точку $(-2, 1)$.

Соединяем вершину $(-1, 0)$ с точками $(0, 1)$ и $(-2, 1)$ и продолжаем лучи. Получаем следующий график:

С помощью построенного графика ответим на вопросы.

а) значения y при x = –1; 0; 4;

Находим на графике точки с заданными абсциссами и определяем их ординаты.

• При $x = -1$, точка является вершиной графика, ее ордината $y=0$.
• При $x = 0$, находим на оси $Ox$ точку 0, поднимаемся до графика и видим, что ордината соответствующей точки равна 1. Таким образом, $y=1$.
• При $x = 4$, находим на графике точку с абсциссой 4. Ее ордината $y=|4+1|=5$.

Ответ: при $x = -1, y = 0$; при $x = 0, y = 1$; при $x = 4, y = 5$.

б) значения x, если y = 1; 0; 5;

Находим на графике точки с заданными ординатами и определяем их абсциссы. Для этого проводим горизонтальные прямые.

• При $y = 1$, прямая $y=1$ пересекает график в двух точках. Абсциссы этих точек $x=-2$ и $x=0$.
• При $y = 0$, прямая $y=0$ (ось абсцисс) пересекает график в одной точке — вершине. Ее абсцисса $x=-1$.
• При $y = 5$, прямая $y=5$ пересекает график в двух точках. Их абсциссы $x=-6$ и $x=4$.

Ответ: если $y=1$, то $x=-2$ или $x=0$; если $y=0$, то $x=-1$; если $y=5$, то $x=-6$ или $x=4$.

в) промежутки возрастания и убывания функции;

Анализируя график, видим, что:

• Функция убывает (график идет вниз слева направо) на промежутке от $-\infty$ до вершины.
• Функция возрастает (график идет вверх слева направо) на промежутке от вершины до $+\infty$.

Вершина имеет абсциссу $x=-1$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, -1]$ и возрастает на промежутке $[-1, +\infty)$.

г) значения аргумента, удовлетворяющие условию y ≤ 1.

Нам нужно найти все значения $x$, для которых график функции $y=|x+1|$ находится на прямой $y=1$ или ниже ее. Из пункта б) мы знаем, что график пересекает прямую $y=1$ в точках с абсциссами $x=-2$ и $x=0$. Между этими точками "галочка" графика находится ниже уровня $y=1$. Таким образом, условию $y \le 1$ удовлетворяют все значения $x$ из отрезка от -2 до 0.

Ответ: $x \in [-2, 0]$.