Номер 21.33, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 21. Как построить график функции у = f(х+l), если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 21.33, страница 125.

Условие.

21.33 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}x, & \text{если } -2 \le x \le 2; \\ 3(x - 3)^2, & \text{если } 2 < x \le 4. \end{cases}$

а) Найдите $f(-1)$; $f(2)$; $f(4)$.

б) Постройте график функции $y = f(x)$.

в) Перечислите свойства функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Найдите f(-1); f(2); f(4).

Для нахождения значений функции в заданных точках необходимо определить, какому из двух интервалов принадлежит аргумент $x$, и использовать соответствующую формулу.

1. Чтобы найти $f(-1)$, заметим, что $x = -1$ принадлежит промежутку $-2 \le x \le 2$. Следовательно, используем первую формулу $f(x) = \frac{1}{2}x$:
$f(-1) = \frac{1}{2} \cdot (-1) = -0,5$.

2. Чтобы найти $f(2)$, заметим, что $x = 2$ также принадлежит промежутку $-2 \le x \le 2$. Снова используем первую формулу:
$f(2) = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$.

3. Чтобы найти $f(4)$, заметим, что $x = 4$ принадлежит промежутку $2 < x \le 4$. Используем вторую формулу $f(x) = 3(x - 3)^2$:
$f(4) = 3(4 - 3)^2 = 3 \cdot 1^2 = 3$.

Ответ: $f(-1) = -0,5$; $f(2) = 1$; $f(4) = 3$.

б) Постройте график функции y = f(x).

График функции состоит из двух частей.

1. На промежутке $[-2, 2]$ функция задается формулой $y = \frac{1}{2}x$. Это линейная функция, её график — отрезок прямой. Для построения отрезка найдем координаты его концов:
При $x = -2$, $y = \frac{1}{2}(-2) = -1$. Точка $(-2, -1)$.
При $x = 2$, $y = \frac{1}{2}(2) = 1$. Точка $(2, 1)$.
Соединяем эти две точки отрезком. Так как неравенство нестрогое, обе точки принадлежат графику (на графике они обозначаются закрашенными кружками).

2. На промежутке $(2, 4]$ функция задается формулой $y = 3(x-3)^2$. Это квадратичная функция, её график — часть параболы, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $x=3$.
Найдем координаты вершины: $y(3) = 3(3-3)^2 = 0$. Точка $(3, 0)$.
Найдем значения на концах промежутка:
При $x = 4$, $y = 3(4-3)^2 = 3$. Точка $(4, 3)$ принадлежит графику (закрашенный кружок).
При $x$, стремящемся к 2 справа, $y$ стремится к $3(2-3)^2 = 3$. Точка $(2, 3)$ не принадлежит графику (на графике она обозначается выколотым, или пустым, кружком), так как неравенство строгое ($x > 2$).
Итак, на этом промежутке мы строим часть параболы с вершиной в точке $(3, 0)$, проходящую от выколотой точки $(2, 3)$ до закрашенной точки $(4, 3)$.

График функции $y = f(x)$ представляет собой объединение отрезка прямой от $(-2, -1)$ до $(2, 1)$ и участка параболы с вершиной в $(3, 0)$, начинающегося в выколотой точке $(2, 3)$ и заканчивающегося в точке $(4, 3)$. В точке $x=2$ функция имеет разрыв.

Ответ: График функции построен на основе приведенного выше описания.

в) Перечислите свойства функции.

1. Область определения функции (множество всех допустимых значений $x$): $D(f) = [-2, 4]$.

2. Область значений функции (множество всех значений, которые принимает $y$): $E(f) = [-1, 3]$.

3. Четность/нечетность: Область определения $D(f) = [-2, 4]$ несимметрична относительно нуля, поэтому функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox, где $y=0$):
$\frac{1}{2}x = 0 \Rightarrow x = 0$.
$3(x-3)^2 = 0 \Rightarrow x = 3$.
Нули функции: $x=0$ и $x=3$.

5. Промежутки знакопостоянства:
Функция положительна ($f(x) > 0$) при $x \in (0, 2] \cup (2, 3) \cup (3, 4]$.
Функция отрицательна ($f(x) < 0$) при $x \in [-2, 0)$.

6. Промежутки монотонности:
Функция возрастает на промежутках $[-2, 2]$ и $[3, 4]$.
Функция убывает на промежутке $(2, 3]$.

7. Экстремумы функции:
Точка локального минимума: $x_{min} = 3$, значение в минимуме $y(3) = 0$.
Наименьшее значение функции: $y_{min} = -1$ при $x=-2$.
Наибольшее значение функции: $y_{max} = 3$ при $x=4$.

8. Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения, кроме точки $x=2$. В точке $x=2$ функция терпит разрыв первого рода (скачок).

Ответ: Свойства функции перечислены в пунктах 1-8.