Номер 21.40, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 21. Как построить график функции у = f(х+l), если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 21.40, страница 126.

Условие.

21.40 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции

$y = \sqrt{x^2 + 2x + 1}$:

а) на отрезке $[-2; 2]$;

б) на луче $[0; +\infty)$;

в) на луче $(-\infty; 3]$;

г) на отрезке $[-5; 0]$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для начала упростим заданную функцию. Выражение под корнем представляет собой формулу квадрата суммы:

$y = \sqrt{x^2 + 2x + 1} = \sqrt{(x+1)^2}$

По определению квадратного корня, $\sqrt{a^2} = |a|$. Следовательно, функция принимает вид:

$y = |x+1|$

График этой функции — это график функции $y = |x|$, смещенный на 1 единицу влево по оси абсцисс. Вершина графика находится в точке $(-1, 0)$. В этой точке функция достигает своего глобального наименьшего значения, равного 0. Функция убывает при $x < -1$ и возрастает при $x > -1$.

a) на отрезке [-2; 2];

Отрезок $[-2; 2]$ содержит точку минимума функции $x = -1$. Таким образом, наименьшее значение функции на этом отрезке равно значению в этой точке.

$y_{наим} = y(-1) = |-1 + 1| = 0$

Наибольшее значение на замкнутом отрезке достигается либо в точке максимума, либо на концах отрезка. Поскольку у функции нет локальных максимумов, проверим значения на концах отрезка:

$y(-2) = |-2 + 1| = |-1| = 1$

$y(2) = |2 + 1| = |3| = 3$

Сравнивая значения на концах, находим наибольшее значение: $\max(1, 3) = 3$.

Ответ: наименьшее значение $0$, наибольшее значение $3$.

б) на луче [0; +∞);

На луче $[0; +\infty)$ все значения $x$ положительны, поэтому $x+1 > 0$. На этом промежутке модуль можно раскрыть со знаком плюс: $y = x+1$.

Это линейная функция, которая возрастает на всей своей области определения. Следовательно, наименьшее значение на луче $[0; +\infty)$ она принимает в его начальной точке, то есть при $x = 0$.

$y_{наим} = y(0) = |0 + 1| = 1$

Так как функция непрерывно возрастает при $x \to +\infty$, она не ограничена сверху, и наибольшего значения на этом луче не существует.

Ответ: наименьшее значение $1$, наибольшего значения не существует.

в) на луче (-∞; 3];

Луч $(-\infty; 3]$ содержит точку глобального минимума функции $x = -1$. Следовательно, наименьшее значение функции на этом луче равно $0$.

$y_{наим} = y(-1) = |-1 + 1| = 0$

Чтобы найти наибольшее значение, рассмотрим поведение функции на бесконечности. При $x \to -\infty$ (что входит в рассматриваемый луч), значения $x$ отрицательны и $x < -1$. На этом интервале $y = -(x+1) = -x - 1$.

При $x \to -\infty$, значение $y = -x - 1 \to +\infty$. Функция не ограничена сверху, поэтому наибольшего значения не существует.

Ответ: наименьшее значение $0$, наибольшего значения не существует.

г) на отрезке [-5; 0].

Отрезок $[-5; 0]$ содержит точку минимума функции $x = -1$. Значит, наименьшее значение функции на этом отрезке равно $0$.

$y_{наим} = y(-1) = |-1 + 1| = 0$

Наибольшее значение ищем на концах отрезка:

$y(-5) = |-5 + 1| = |-4| = 4$

$y(0) = |0 + 1| = |1| = 1$

Сравнивая эти значения, находим наибольшее: $\max(4, 1) = 4$.

Ответ: наименьшее значение $0$, наибольшее значение $4$.