Номер 21.44, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 21. Как построить график функции у = f(х+l), если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 21.44, страница 126.

Условие.

21.44 Пусть $K$ — наибольшее значение функции $y = -\frac{1}{x + 2}$ на луче $(-\infty; -3]$, а $L$ — наименьшее значение функции $y = -3x + 2$ на луче $(-\infty; 1]$. Что больше: $L$ или $K$? Сделайте графическую иллюстрацию.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть K — наибольшее значение функции $y = -\frac{1}{x+2}$ на луче $(-\infty; -3]$

Для нахождения наибольшего значения функции $y(x) = -\frac{1}{x+2}$ на заданном луче, исследуем ее на монотонность. Найдем производную функции:

$y' = \left(-\frac{1}{x+2}\right)' = \left(-(x+2)^{-1}\right)' = -(-1)(x+2)^{-2} \cdot (x+2)' = \frac{1}{(x+2)^2}$.

Поскольку квадрат знаменателя $(x+2)^2$ всегда положителен для любого $x$ из области определения, производная $y' > 0$. Это означает, что функция является строго возрастающей на всей своей области определения, в том числе и на луче $(-\infty; -3]$.

Так как функция возрастает, свое наибольшее значение на этом луче она примет в его крайней правой точке, то есть при $x = -3$.

Вычислим значение $K$:

$K = y(-3) = -\frac{1}{-3 + 2} = -\frac{1}{-1} = 1$.

Ответ: $K = 1$.

a L — наименьшее значение функции $y = -3x + 2$ на луче $(-\infty; 1]$

Функция $y(x) = -3x + 2$ является линейной. Ее угловой коэффициент $k = -3$ отрицателен, что означает, что функция является убывающей на всей числовой прямой, включая луч $(-\infty; 1]$.

Так как функция убывает, свое наименьшее значение на этом луче она примет в его крайней правой точке, то есть при $x = 1$.

Вычислим значение $L$:

$L = y(1) = -3 \cdot 1 + 2 = -3 + 2 = -1$.

Ответ: $L = -1$.

Что больше: L или K?

Мы нашли, что $K = 1$ и $L = -1$.

Сравним эти значения: $1 > -1$.

Таким образом, $K$ больше, чем $L$.

Ответ: $K > L$.

Сделайте графическую иллюстрацию.

Построим на одной координатной плоскости графики обеих функций и отметим точки, в которых достигаются значения $K$ и $L$.

1. График функции $y = -\frac{1}{x+2}$ — это гипербола с вертикальной асимптотой $x=-2$ и горизонтальной асимптотой $y=0$. На луче $(-\infty; -3]$ наибольшее значение $K=1$ достигается в точке $(-3, 1)$.

2. График функции $y = -3x + 2$ — это прямая. На луче $(-\infty; 1]$ наименьшее значение $L=-1$ достигается в точке $(1, -1)$.

Ниже представлена графическая иллюстрация. Красным цветом выделена часть графика, на которой достигается значение $K$. Фиолетовым цветом выделена часть графика, на которой достигается значение $L$.

График наглядно показывает, что ордината точки $K(-3, 1)$ больше ординаты точки, где достигается $L(1, -1)$.

Ответ: Графическая иллюстрация, подтверждающая, что $K > L$, приведена выше.