Номер 21.42, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 21. Как построить график функции у = f(х+l), если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 21.42, страница 126.

Условие.

21.42 Пусть A — наибольшее значение функции $y = -3(x + 4)^2$ на отрезке $[-5; -3]$, а B — наибольшее значение функции $y = \frac{3}{x}$ на луче $[1; +\infty)$. Что больше: A или B? Сделайте графическую иллюстрацию.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Нахождение A

Рассмотрим функцию $y = -3(x + 4)^2$ на отрезке $[-5; -3]$. Это квадратичная функция, график которой — парабола. Так как коэффициент перед скобкой $a = -3$ отрицательный, ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x_0 = -4$. Поскольку точка $x_0 = -4$ принадлежит отрезку $[-5; -3]$, то наибольшее значение на этом отрезке функция принимает в своей вершине. Вычислим это значение: $A = y(-4) = -3(-4 + 4)^2 = -3 \cdot 0^2 = 0$.

Ответ: $A = 0$.

Нахождение B

Рассмотрим функцию $y = \frac{3}{x}$ на луче $[1; +\infty)$. Это функция обратной пропорциональности. На промежутке $[1; +\infty)$ она является убывающей, так как с увеличением положительного значения $x$ значение дроби $\frac{3}{x}$ уменьшается. Следовательно, наибольшее значение на этом луче функция принимает в его начальной точке, то есть при $x = 1$. Вычислим это значение: $B = y(1) = \frac{3}{1} = 3$.

Ответ: $B = 3$.

Сравнение и графическая иллюстрация

Мы нашли значения $A = 0$ и $B = 3$. Сравнивая их, получаем $3 > 0$, что означает $B > A$.

Графическая иллюстрация:
Для наглядного представления построим эскизы графиков обеих функций на заданных промежутках в одной системе координат.
1. График функции $y = -3(x + 4)^2$ на отрезке $[-5; -3]$ представляет собой дугу параболы с вершиной в точке $(-4, 0)$. Эта точка является точкой максимума, то есть $A=0$. График проходит также через точки $(-5, -3)$ и $(-3, -3)$.
2. График функции $y = \frac{3}{x}$ на луче $[1; +\infty)$ является ветвью гиперболы, расположенной в первом квадранте. Он начинается в точке $(1, 3)$, которая является точкой максимума ($B=3$), и далее убывает, приближаясь к оси абсцисс.
На графиках видно, что наибольшее значение первой функции равно 0, а второй — 3. Это подтверждает, что $B$ больше, чем $A$.

Ответ: $B > A$.