Номер 21.48, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 21. Как построить график функции у = f(х+l), если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 21.48, страница 127.

Условие.

21.48 а) $\sqrt{x + 3} = -1 - x;$

б) $\sqrt{x - 2} = x - 4;$

в) $\sqrt{x - 1} = 3 - x;$

г) $\sqrt{x + 4} = x + 2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Исходное уравнение: $\sqrt{x+3} = -1-x$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется системой неравенств: $x+3 \ge 0$ и $-1-x \ge 0$.
Из первого неравенства получаем $x \ge -3$.
Из второго неравенства получаем $-x \ge 1$, то есть $x \le -1$.
Следовательно, ОДЗ уравнения: $x \in [-3, -1]$.
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака корня:
$(\sqrt{x+3})^2 = (-1-x)^2$
$x+3 = (-(1+x))^2$
$x+3 = (1+x)^2$
$x+3 = 1+2x+x^2$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:
$x^2 + 2x - x + 1 - 3 = 0$
$x^2 + x - 2 = 0$
Найдем корни полученного квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение равно $-2$. Таким образом, корни: $x_1=1$ и $x_2=-2$.
Теперь необходимо проверить, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x \in [-3, -1]$):
- Корень $x_1=1$ не входит в ОДЗ, так как $1 > -1$. Следовательно, это посторонний корень.
- Корень $x_2=-2$ входит в ОДЗ, так как $-3 \le -2 \le -1$. Следовательно, это является решением уравнения.
Можно также выполнить проверку подстановкой $x=-2$ в исходное уравнение: $\sqrt{-2+3} = \sqrt{1} = 1$ и $-1-(-2) = -1+2 = 1$. Равенство $1=1$ верно.
Ответ: $-2$

б) Исходное уравнение: $\sqrt{x-2} = x-4$.
ОДЗ определяется системой неравенств: $x-2 \ge 0$ и $x-4 \ge 0$.
Из первого неравенства: $x \ge 2$.
Из второго неравенства: $x \ge 4$.
Общим решением системы является $x \ge 4$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [4, +\infty)$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x-2})^2 = (x-4)^2$
$x-2 = x^2-8x+16$
Перенесем все члены в одну сторону:
$x^2 - 8x - x + 16 + 2 = 0$
$x^2 - 9x + 18 = 0$
Найдем корни квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна $9$, а произведение равно $18$. Корни: $x_1=3$ и $x_2=6$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 4$):
- Корень $x_1=3$ не удовлетворяет условию $x \ge 4$. Это посторонний корень.
- Корень $x_2=6$ удовлетворяет условию $x \ge 4$. Это решение уравнения.
Проверка: $\sqrt{6-2}=\sqrt{4}=2$ и $6-4=2$. Равенство $2=2$ верно.
Ответ: $6$

в) Исходное уравнение: $\sqrt{x-1} = 3-x$.
ОДЗ определяется системой неравенств: $x-1 \ge 0$ и $3-x \ge 0$.
Из первого неравенства: $x \ge 1$.
Из второго неравенства: $x \le 3$.
Следовательно, ОДЗ: $x \in [1, 3]$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x-1})^2 = (3-x)^2$
$x-1 = 9-6x+x^2$
Приведем к стандартному виду:
$x^2 - 6x - x + 9 + 1 = 0$
$x^2 - 7x + 10 = 0$
Найдем корни. По теореме Виета, сумма корней равна $7$, произведение равно $10$. Корни: $x_1=2$ и $x_2=5$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \in [1, 3]$):
- Корень $x_1=2$ принадлежит отрезку $[1, 3]$. Это решение.
- Корень $x_2=5$ не принадлежит отрезку $[1, 3]$. Это посторонний корень.
Проверка: $\sqrt{2-1}=\sqrt{1}=1$ и $3-2=1$. Равенство $1=1$ верно.
Ответ: $2$

г) Исходное уравнение: $\sqrt{x+4} = x+2$.
ОДЗ определяется системой неравенств: $x+4 \ge 0$ и $x+2 \ge 0$.
Из первого неравенства: $x \ge -4$.
Из второго неравенства: $x \ge -2$.
Общим решением является $x \ge -2$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [-2, +\infty)$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x+4})^2 = (x+2)^2$
$x+4 = x^2+4x+4$
Перенесем все члены в одну сторону:
$x^2 + 4x - x + 4 - 4 = 0$
$x^2 + 3x = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x+3) = 0$
Корни уравнения: $x_1=0$ и $x_2=-3$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge -2$):
- Корень $x_1=0$ удовлетворяет условию $x \ge -2$. Это решение.
- Корень $x_2=-3$ не удовлетворяет условию $x \ge -2$. Это посторонний корень.
Проверка: $\sqrt{0+4}=\sqrt{4}=2$ и $0+2=2$. Равенство $2=2$ верно.
Ответ: $0$