Номер 21.55, страница 128, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 21. Как построить график функции у = f(х+l), если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 21.55, страница 128.

Условие.

21.55 a) Используя графики функций $y = 2x - 2$ и $y = \frac{4}{x - 2}$, определите, при каких значениях x выполнено неравенство $2x - 2 > \frac{4}{x - 2}$.

б) Используя графики функций $y = \sqrt{x + 1}$ и $y = x - 1$, определите те значения x, для которых $\sqrt{x + 1} \le x - 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Для решения неравенства $2x - 2 > \frac{4}{x-2}$ необходимо определить, при каких значениях $x$ график функции $y = 2x - 2$ находится выше графика функции $y = \frac{4}{x-2}$. Для этого построим оба графика в одной системе координат.

1. График функции $y = 2x - 2$ — это прямая линия. Для её построения достаточно двух точек. Например, при $x=0$, $y=-2$ и при $x=1$, $y=0$.

2. График функции $y = \frac{4}{x-2}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{4}{x}$ на 2 единицы вправо. Вертикальная асимптота гиперболы — прямая $x=2$, горизонтальная — $y=0$.

3. Найдём точки пересечения графиков. Для этого решим уравнение $2x - 2 = \frac{4}{x-2}$.
Условие: $x \neq 2$.
$(2x - 2)(x - 2) = 4$
$2(x - 1)(x - 2) = 4$
$(x - 1)(x - 2) = 2$
$x^2 - 3x + 2 = 2$
$x^2 - 3x = 0$
$x(x - 3) = 0$
Отсюда получаем две точки пересечения по оси абсцисс: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

4. Анализ графиков. Нам нужно найти интервалы, на которых прямая $y = 2x - 2$ лежит выше гиперболы $y = \frac{4}{x-2}$. Рассматривая построенные графики, мы видим, что это происходит на двух промежутках:

• между точкой пересечения $x=0$ и вертикальной асимптотой $x=2$;
• при $x$, больших абсциссы второй точки пересечения, то есть при $x > 3$.

Объединяя эти промежутки, получаем решение неравенства.

Ответ: $x \in (0; 2) \cup (3; +\infty)$.

б)

Для решения неравенства $\sqrt{x+1} \le x - 1$ необходимо определить, при каких значениях $x$ график функции $y = \sqrt{x+1}$ находится не выше (то есть ниже или на одном уровне) графика функции $y = x - 1$. Построим оба графика в одной системе координат.

1. График функции $y = \sqrt{x+1}$ — это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси Ох. График получен сдвигом графика $y = \sqrt{x}$ на 1 единицу влево. Область определения функции: $x+1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$. График начинается в точке $(-1, 0)$.

2. График функции $y = x - 1$ — это прямая линия, проходящая через точки $(1, 0)$ и $(0, -1)$.

3. Найдём точки пересечения графиков. Для этого решим уравнение $\sqrt{x+1} = x - 1$.
Поскольку значение квадратного корня не может быть отрицательным, должно выполняться условие $x - 1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$. Это условие также удовлетворяет области определения $x \ge -1$.
Возведём обе части уравнения в квадрат:
$x + 1 = (x - 1)^2$
$x + 1 = x^2 - 2x + 1$
$0 = x^2 - 3x$
$x(x - 3) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.
Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $x \ge 1$, следовательно, он является посторонним.
Корень $x_2 = 3$ удовлетворяет условию $x \ge 1$. Таким образом, графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой равна 3.

4. Анализ графиков. Нам нужно найти интервалы, на которых график $y = \sqrt{x+1}$ лежит ниже или совпадает с прямой $y = x - 1$. Из графика видно, что прямая находится выше графика корня, начиная с их точки пересечения $x=3$ и далее вправо. Неравенство нестрогое, поэтому сама точка пересечения включается в решение.

Ответ: $x \in [3; +\infty)$.