Номер 21.57, страница 128, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 21. Как построить график функции у = f(х+l), если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 21.57, страница 128.

Условие.

21.57 Дана функция $y = f(x)$, где

$f(x) = \begin{cases} \sqrt{x+3}, & \text{если } -3 \le x \le 1; \\ 2(x-1)^2, & \text{если } 1 < x \le 3. \end{cases}$

а) Постройте график функции $y = f(x)$.

б) При каких значениях $p$ уравнение $f(x) = p$ имеет один корень, два корня?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Постройте график функции y = f(x).

Функция $y = f(x)$ является кусочно-заданной. Для построения её графика необходимо рассмотреть каждый из двух участков отдельно.

1. На промежутке $-3 \le x \le 1$ функция имеет вид $y = \sqrt{x + 3}$. Это график стандартной функции $y = \sqrt{x}$, смещённый на 3 единицы влево вдоль оси абсцисс. Найдём значения функции на концах этого промежутка:
- При $x = -3$, $y = \sqrt{-3 + 3} = \sqrt{0} = 0$. Получаем точку $(-3; 0)$.
- При $x = 1$, $y = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$. Получаем точку $(1; 2)$.
Таким образом, на отрезке $[-3; 1]$ график представляет собой часть параболы (ветвь, направленная вправо), соединяющую точки $(-3; 0)$ и $(1; 2)$. Обе точки принадлежат графику.

2. На промежутке $1 < x \le 3$ функция имеет вид $y = 2(x - 1)^2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. График получен из параболы $y = 2x^2$ путем смещения на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс. Вершина этой параболы находится в точке $(1; 0)$. Поскольку интервал для $x$ строго больше 1 ($x > 1$), сама вершина $(1; 0)$ не включается в график (она является "выколотой" точкой). Найдём значение функции на правом конце промежутка:
- При $x = 3$, $y = 2(3 - 1)^2 = 2 \cdot 2^2 = 8$. Получаем точку $(3; 8)$.
- Возьмем промежуточную точку для более точного построения, например $x=2$: $y = 2(2 - 1)^2 = 2$. Получаем точку $(2; 2)$.
Таким образом, на полуинтервале $(1; 3]$ график представляет собой правую ветвь параболы, начинающуюся из выколотой точки $(1; 0)$ и заканчивающуюся в точке $(3; 8)$.

Совместив оба фрагмента на одной координатной плоскости, мы получим искомый график функции $y = f(x)$.

Ответ: График функции построен путем объединения двух частей: графика $y = \sqrt{x+3}$ на отрезке $[-3; 1]$ и графика $y = 2(x-1)^2$ на полуинтервале $(1; 3]$.

б) При каких значениях p уравнение f(x) = p имеет один корень, два корня?

Количество корней уравнения $f(x) = p$ равно количеству точек пересечения графика функции $y = f(x)$ с горизонтальной прямой $y = p$. Проанализируем это количество, мысленно перемещая прямую $y = p$ вдоль оси ординат.

- При $p < 0$ и $p > 8$: Прямая $y=p$ не имеет общих точек с графиком функции, так как наименьшее значение функции равно 0, а наибольшее равно 8. Корней нет.

- При $p = 0$: Прямая $y=0$ пересекает график только в одной точке $(-3; 0)$. Точка $(1; 0)$ является выколотой. Следовательно, уравнение имеет один корень.

- При $0 < p < 2$: Прямая $y=p$ пересекает и первую часть графика ($y = \sqrt{x+3}$), и вторую ($y = 2(x-1)^2$). Каждую часть она пересекает в одной точке. Следовательно, уравнение имеет два корня.

- При $p = 2$: Прямая $y=2$ проходит через точки $(1; 2)$ и $(2; 2)$, обе из которых принадлежат графику. Следовательно, уравнение имеет два корня.

- При $2 < p \le 8$: Прямая $y=p$ пересекает только вторую, параболическую, часть графика в одной точке. Например, при $p=8$ это точка $(3;8)$. Следовательно, уравнение имеет один корень.

Сводя результаты анализа, получаем:
- Уравнение имеет один корень при $p=0$ и при $p \in (2, 8]$.
- Уравнение имеет два корня при $p \in (0, 2]$.

Ответ: один корень при $p=0$ и при $p \in (2; 8]$; два корня при $p \in (0; 2]$.