Номер 21.53, страница 128, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 21. Как построить график функции у = f(х+l), если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 21.53, страница 128.

Условие.

Сколько решений имеет система уравнений:

21.53 а)

$\begin{cases} y = \frac{1}{x - 2}, \\ y = \frac{x}{3}; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = \frac{2}{x + 3}, \\ x - y = 7; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = -\frac{3}{x + 2}, \\ y = -2x - 1; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y = \frac{4}{x - 2}, \\ x + y = 2? \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы найти количество решений системы уравнений $$ \begin{cases} y = \frac{1}{x-2} \\ y = \frac{x}{3} \end{cases} $$ приравняем правые части уравнений. Это позволит нам найти абсциссы точек пересечения графиков функций $y = \frac{1}{x-2}$ и $y = \frac{x}{3}$.

$$ \frac{1}{x-2} = \frac{x}{3} $$ Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения: $x \neq 2$. Используя основное свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем: $$ x(x-2) = 3 $$ Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду: $$ x^2 - 2x = 3 $$ $$ x^2 - 2x - 3 = 0 $$ Для определения количества корней квадратного уравнения найдем его дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 $$ Поскольку $D = 16 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем эти корни, чтобы убедиться, что они удовлетворяют ОДЗ: $$ x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 4}{2} $$ $$ x_1 = \frac{2+4}{2} = 3 $$ $$ x_2 = \frac{2-4}{2} = -1 $$ Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 2$). Каждому значению $x$ соответствует единственное значение $y$. Следовательно, система имеет два решения.
Ответ: 2 решения.

б) Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} y = -\frac{2}{x+3} \\ x - y = 7 \end{cases} $$ Выразим $y$ из второго уравнения: $y = x - 7$. Подставим это выражение в первое уравнение, чтобы получить уравнение с одной переменной: $$ x - 7 = -\frac{2}{x+3} $$ ОДЗ: $x \neq -3$. Умножим обе части уравнения на $(x+3)$: $$ (x-7)(x+3) = -2 $$ Раскроем скобки в левой части: $$ x^2 + 3x - 7x - 21 = -2 $$ $$ x^2 - 4x - 21 = -2 $$ Приведем уравнение к стандартному виду $ax^2+bx+c=0$: $$ x^2 - 4x - 19 = 0 $$ Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-19) = 16 + 76 = 92 $$ Поскольку $D = 92 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Эти корни не равны $-3$, так как при подстановке $x=-3$ в уравнение $x^2 - 4x - 19$ получаем $(-3)^2 - 4(-3) - 19 = 9 + 12 - 19 = 2 \neq 0$. Каждому из двух значений $x$ соответствует единственное значение $y$. Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: 2 решения.

в) Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} y = -\frac{3}{x+2} \\ y = -2x - 1 \end{cases} $$ Приравняем правые части уравнений: $$ -\frac{3}{x+2} = -2x - 1 $$ ОДЗ: $x \neq -2$. Умножим обе части уравнения на $-1$: $$ \frac{3}{x+2} = 2x + 1 $$ Умножим обе части на $(x+2)$: $$ 3 = (2x+1)(x+2) $$ Раскроем скобки: $$ 3 = 2x^2 + 4x + x + 2 $$ $$ 3 = 2x^2 + 5x + 2 $$ Приведем уравнение к стандартному виду: $$ 2x^2 + 5x - 1 = 0 $$ Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$ D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 25 + 8 = 33 $$ Поскольку $D = 33 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Эти корни не равны $-2$, так как при подстановке $x=-2$ в уравнение $2x^2 + 5x - 1$ получаем $2(-2)^2 + 5(-2) - 1 = 8 - 10 - 1 = -3 \neq 0$. Каждому значению $x$ соответствует единственное значение $y$. Следовательно, система имеет два решения.
Ответ: 2 решения.

г) Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} y = \frac{4}{x-2} \\ x + y = 2 \end{cases} $$ Выразим $y$ из второго уравнения: $y = 2 - x$. Подставим это выражение в первое уравнение: $$ 2 - x = \frac{4}{x-2} $$ ОДЗ: $x \neq 2$. Умножим обе части уравнения на $(x-2)$: $$ (2-x)(x-2) = 4 $$ Вынесем $-1$ за скобку в левой части: $$ -(x-2)(x-2) = 4 $$ $$ -(x-2)^2 = 4 $$ $$ (x-2)^2 = -4 $$ Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, это уравнение не имеет действительных корней. Альтернативно, можно было привести уравнение к стандартному виду $x^2 - 4x + 8 = 0$ и вычислить дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 16 - 32 = -16$. Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Таким образом, система уравнений не имеет решений.
Ответ: нет решений.