Номер 21.54, страница 128, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 21. Как построить график функции у = f(х+l), если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 21.54, страница 128.

Условие.

21.54 a)

$y = -\frac{4}{x - 3}$,

$y = |x + 2|;$

б) $y = 2(x - 1)^2$,

$y = \sqrt{x + 2}?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы найти точки пересечения графиков функций, необходимо решить систему уравнений:

$\begin{cases} y = -\frac{4}{x-3} \\ y = |x+2|\end{cases}$

Приравняем правые части уравнений:

$-\frac{4}{x-3} = |x+2|$

Левая часть уравнения, $y = |x+2|$, всегда неотрицательна, то есть $y \ge 0$. Следовательно, правая часть также должна быть неотрицательной:

$-\frac{4}{x-3} \ge 0$

$\frac{4}{x-3} \le 0$

Так как числитель (4) положителен, знаменатель должен быть отрицательным:

$x - 3 < 0 \implies x < 3$

Это означает, что решения могут существовать только при $x < 3$. Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1. Если $x+2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$. С учетом условия $x<3$, рассматриваем интервал $x \in [-2, 3)$. В этом случае $|x+2| = x+2$. Уравнение принимает вид:

$-\frac{4}{x-3} = x+2$

$-4 = (x+2)(x-3)$

$-4 = x^2 - x - 6$

$x^2 - x - 2 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$. Оба корня принадлежат интервалу $[-2, 3)$, поэтому являются решениями.

Найдем соответствующие значения $y$:

При $x_1=2$, $y_1 = |2+2| = 4$. Точка пересечения: $(2, 4)$.

При $x_2=-1$, $y_2 = |-1+2| = 1$. Точка пересечения: $(-1, 1)$.

2. Если $x+2 < 0$, то есть $x < -2$. В этом случае $|x+2| = -(x+2)$. Уравнение принимает вид:

$-\frac{4}{x-3} = -(x+2)$

$\frac{4}{x-3} = x+2$

$4 = (x+2)(x-3)$

$4 = x^2 - x - 6$

$x^2 - x - 10 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = (-1)^2 - 4(1)(-10) = 1+40=41$.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{41}}{2}$

Проверим, удовлетворяют ли корни условию $x < -2$.

$x_3 = \frac{1+\sqrt{41}}{2} \approx \frac{1+6.4}{2} = 3.7$. Этот корень не удовлетворяет условию $x < -2$.

$x_4 = \frac{1-\sqrt{41}}{2} \approx \frac{1-6.4}{2} = -2.7$. Этот корень удовлетворяет условию $x < -2$.

Найдем соответствующее значение $y$:

$y_4 = |x_4+2| = |\frac{1-\sqrt{41}}{2}+2| = |\frac{1-\sqrt{41}+4}{2}| = |\frac{5-\sqrt{41}}{2}|$. Так как $\sqrt{41} > \sqrt{25}=5$, выражение $5-\sqrt{41}$ отрицательно, поэтому $|\frac{5-\sqrt{41}}{2}| = -\frac{5-\sqrt{41}}{2} = \frac{\sqrt{41}-5}{2}$.

Третья точка пересечения: $(\frac{1-\sqrt{41}}{2}, \frac{\sqrt{41}-5}{2})$.

Ответ: $(2, 4)$, $(-1, 1)$, $(\frac{1-\sqrt{41}}{2}, \frac{\sqrt{41}-5}{2})$.

б) Найдем точки пересечения графиков функций, решив систему уравнений:

$\begin{cases} y = 2(x-1)^2 \\ y = \sqrt{x+2}\end{cases}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Для функции $y = \sqrt{x+2}$ необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

$x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$

Приравняем правые части уравнений:

$2(x-1)^2 = \sqrt{x+2}$

Для избавления от квадратного корня возведем обе части уравнения в квадрат:

$(2(x-1)^2)^2 = (\sqrt{x+2})^2$

$4(x-1)^4 = x+2$

Это уравнение четвертой степени. Для его решения сделаем замену переменной. Пусть $u=x-1$, тогда $x=u+1$. Подставим в уравнение:

$4u^4 = (u+1)+2$

$4u^4 - u - 3 = 0$

Подбором находим один из корней этого уравнения. При $u=1$ левая часть обращается в ноль: $4(1)^4 - 1 - 3 = 0$. Следовательно, $u=1$ является корнем. Это означает, что многочлен $4u^4-u-3$ делится на $(u-1)$. Выполнив деление, получаем:

$(u-1)(4u^3+4u^2+4u+3) = 0$

Отсюда получаем два возможных случая:

1. $u-1=0 \implies u_1 = 1$.

Найдем соответствующий $x$: $x_1=u_1+1 = 1+1=2$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($2 \ge -2$).

Найдем $y_1$: $y_1 = \sqrt{x_1+2} = \sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2$.

Первая точка пересечения: $(2, 2)$.

2. $4u^3+4u^2+4u+3=0$.

Исследуем функцию $p(u) = 4u^3+4u^2+4u+3$. Ее производная $p'(u) = 12u^2+8u+4$. Дискриминант этого квадратного трехчлена $D = 8^2 - 4(12)(4) = 64-192 = -128 < 0$. Так как старший коэффициент (12) положителен, $p'(u) > 0$ для всех $u$. Это значит, что функция $p(u)$ строго возрастает и может иметь не более одного действительного корня.

Найдем, в каком интервале находится этот корень. $p(-1) = 4(-1)+4(1)+4(-1)+3 = -1$. $p(0) = 3$. Так как функция непрерывна и на концах отрезка $[-1, 0]$ принимает значения разных знаков, единственный корень $u_2$ находится в интервале $(-1, 0)$.

Этот корень является иррациональным числом. Найдем соответствующий $x_2 = u_2+1$. Так как $u_2 \in (-1, 0)$, то $x_2 \in (0, 1)$, что удовлетворяет ОДЗ.

Найдем $y_2$: $y_2 = 2(x_2-1)^2 = 2(u_2)^2 = 2u_2^2$.

Вторая точка пересечения: $(u_2+1, 2u_2^2)$, где $u_2$ - единственный действительный корень уравнения $4u^3+4u^2+4u+3=0$.

Ответ: Система имеет два решения. Первое решение: $(2, 2)$. Второе решение: $(x_2, y_2)$, где $x_2 = u_2+1$, $y_2=2u_2^2$, а $u_2$ является единственным действительным корнем уравнения $4u^3+4u^2+4u+3=0$ (приблизительное значение $u_2 \approx -0.68$).