Номер 21.52, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 21. Как построить график функции у = f(х+l), если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 21.52, страница 127.

Условие.

21.52 a) $y = \sqrt{x - 3},$
$y = (x - 3)^2;$

б) $y = (x - 2)^2,$
$y = \sqrt{x^2 - 8x + 16};$

в) $y = \sqrt{x + 4},$
$y = -2x + 2;$

г) $y = 0,5(x + 1)^2,$
$y = \sqrt{x^2 + 2x + 1}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

a)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} y = \sqrt{x - 3} \\ y = (x - 3)^2 \end{cases} $

Для нахождения точек пересечения графиков функций приравняем правые части уравнений:

$ \sqrt{x - 3} = (x - 3)^2 $

Область допустимых значений (ОДЗ) для первого уравнения определяется условием $x - 3 \ge 0$, откуда $x \ge 3$. Также из первого уравнения следует, что $y \ge 0$. Второе уравнение ($y = (x - 3)^2$) удовлетворяет условию $y \ge 0$ для любых $x$.

Для решения уравнения введем замену: пусть $t = \sqrt{x - 3}$. Учитывая ОДЗ, имеем $t \ge 0$. Тогда $x - 3 = t^2$, и уравнение принимает вид:

$ t = (t^2)^2 $

$ t = t^4 $

$ t^4 - t = 0 $

$ t(t^3 - 1) = 0 $

Это уравнение имеет два решения для $t$:

1. $t = 0$

2. $t^3 - 1 = 0 \Rightarrow t^3 = 1 \Rightarrow t = 1$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$:

1. Если $t = 0$, то $\sqrt{x - 3} = 0$. Возведя в квадрат, получаем $x - 3 = 0$, откуда $x = 3$. Соответствующее значение $y$ равно $y = \sqrt{3 - 3} = 0$. Таким образом, одна из точек пересечения — $(3, 0)$.

2. Если $t = 1$, то $\sqrt{x - 3} = 1$. Возведя в квадрат, получаем $x - 3 = 1$, откуда $x = 4$. Соответствующее значение $y$ равно $y = \sqrt{4 - 3} = 1$. Вторая точка пересечения — $(4, 1)$.

Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(3, 0), (4, 1)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} y = (x - 2)^2 \\ y = \sqrt{x^2 - 8x + 16} \end{cases} $

Упростим второе уравнение. Выражение под знаком корня является полным квадратом: $x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2$.

Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:

$ y = \sqrt{(x - 4)^2} = |x - 4| $

Теперь система выглядит так:

$ \begin{cases} y = (x - 2)^2 \\ y = |x - 4| \end{cases} $

Приравняем правые части:

$ (x - 2)^2 = |x - 4| $

Для решения уравнения раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x - 4 \ge 0$, то есть $x \ge 4$.

В этом случае $|x - 4| = x - 4$. Уравнение принимает вид:

$ (x - 2)^2 = x - 4 $

$ x^2 - 4x + 4 = x - 4 $

$ x^2 - 5x + 8 = 0 $

Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 25 - 32 = -7$. Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Случай 2: $x - 4 < 0$, то есть $x < 4$.

В этом случае $|x - 4| = -(x - 4) = 4 - x$. Уравнение принимает вид:

$ (x - 2)^2 = 4 - x $

$ x^2 - 4x + 4 = 4 - x $

$ x^2 - 3x = 0 $

$ x(x - 3) = 0 $

Корни этого уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$. Оба корня удовлетворяют условию $x < 4$.

Найдем соответствующие значения $y$:

1. При $x = 0$, $y = (0 - 2)^2 = 4$. Получаем точку $(0, 4)$.

2. При $x = 3$, $y = (3 - 2)^2 = 1$. Получаем точку $(3, 1)$.

Ответ: $(0, 4), (3, 1)$.

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} y = \sqrt{x + 4} \\ y = -2x + 2 \end{cases} $

Приравняем правые части уравнений:

$ \sqrt{x + 4} = -2x + 2 $

Определим ОДЗ. Из первого уравнения следует, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x + 4 \ge 0 \Rightarrow x \ge -4$.

Кроме того, значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным, поэтому правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $-2x + 2 \ge 0 \Rightarrow 2 \ge 2x \Rightarrow x \le 1$.

Таким образом, все решения должны находиться в промежутке $[-4, 1]$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$ (\sqrt{x + 4})^2 = (-2x + 2)^2 $

$ x + 4 = 4x^2 - 8x + 4 $

$ 0 = 4x^2 - 9x $

$ x(4x - 9) = 0 $

Получаем два потенциальных корня:

1. $x_1 = 0$. Этот корень принадлежит ОДЗ (интервалу $[-4, 1]$).

2. $4x - 9 = 0 \Rightarrow x_2 = \frac{9}{4} = 2.25$. Этот корень не принадлежит ОДЗ, так как $2.25 > 1$, и является посторонним.

Единственное решение — $x = 0$. Найдем соответствующее значение $y$: $y = -2(0) + 2 = 2$. Проверка по первому уравнению: $y = \sqrt{0 + 4} = 2$.

Ответ: $(0, 2)$.

г)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} y = 0.5(x + 1)^2 \\ y = \sqrt{x^2 + 2x + 1} \end{cases} $

Упростим второе уравнение. Выражение под корнем является полным квадратом: $x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$.

Следовательно, $y = \sqrt{(x + 1)^2} = |x + 1|$.

Теперь система выглядит так:

$ \begin{cases} y = 0.5(x + 1)^2 \\ y = |x + 1| \end{cases} $

Приравняем правые части:

$ 0.5(x + 1)^2 = |x + 1| $

Сделаем замену $t = |x + 1|$. Так как модуль всегда неотрицателен, $t \ge 0$. Учтем, что $(x + 1)^2 = |x + 1|^2 = t^2$. Уравнение примет вид:

$ 0.5t^2 = t $

$ 0.5t^2 - t = 0 $

$ t(0.5t - 1) = 0 $

Отсюда получаем два возможных значения для $t$:

1. $t = 0$

2. $0.5t - 1 = 0 \Rightarrow 0.5t = 1 \Rightarrow t = 2$

Выполним обратную замену:

1. Если $t = 0$, то $|x + 1| = 0 \Rightarrow x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$. Находим $y$: $y = |-1 + 1| = 0$. Получаем точку $(-1, 0)$.

2. Если $t = 2$, то $|x + 1| = 2$. Это уравнение распадается на два:

а) $x + 1 = 2 \Rightarrow x = 1$. Находим $y$: $y = |1 + 1| = 2$. Получаем точку $(1, 2)$.

б) $x + 1 = -2 \Rightarrow x = -3$. Находим $y$: $y = |-3 + 1| = |-2| = 2$. Получаем точку $(-3, 2)$.

Ответ: $(-1, 0), (1, 2), (-3, 2)$.