Номер 21.56, страница 128, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 21. Как построить график функции у = f(х+l), если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 21.56, страница 128.

Условие.

21.56 Постройте график функции $y = f(x)$, где

$f(x) = \begin{cases} -2x - 2, & \text{если } -3 \le x \le 1; \\ \sqrt{x+1}, & \text{если } 1 < x \le 5. \end{cases}$

С помощью графика функции найдите:

а) $f(-2,8)$, $f(3,84)$, $f(0)$;

б) при каких значениях $x$ выполняются равенства $f(x) = 0$, $f(x) = 2$, $f(x) = 4$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для построения графика кусочно-заданной функции $f(x) = \begin{cases} -2x - 2, & \text{если } -3 \le x \le 1 \\ \sqrt{x+1}, & \text{если } 1 < x \le 5 \end{cases}$ рассмотрим каждую часть отдельно.

1. Первая часть функции — это $y = -2x - 2$ на отрезке $[-3; 1]$. Это линейная функция, её график — отрезок прямой. Для построения найдем координаты его концов.

При $x = -3$: $y = -2(-3) - 2 = 6 - 2 = 4$. Получаем точку $(-3, 4)$.

При $x = 1$: $y = -2(1) - 2 = -2 - 2 = -4$. Получаем точку $(1, -4)$.

Обе точки включены в график, так как неравенства нестрогие. Соединяем точки $(-3, 4)$ и $(1, -4)$ отрезком.

2. Вторая часть функции — это $y = \sqrt{x+1}$ на полуинтервале $(1; 5]$. Это часть графика функции квадратного корня, смещенного на 1 единицу влево по оси Ox. Найдем координаты концов этого участка.

При $x = 1$: $y = \sqrt{1+1} = \sqrt{2} \approx 1.41$. Точка $(1, \sqrt{2})$ не включена в график, так как неравенство строгое. На графике она будет отмечена выколотой (пустой) точкой.

При $x = 5$: $y = \sqrt{5+1} = \sqrt{6} \approx 2.45$. Точка $(5, \sqrt{6})$ включена в график, так как неравенство нестрогое.

Для более точного построения найдем еще одну точку на этом интервале. Например, при $x = 3$: $y = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(3, 2)$ принадлежит графику.

Строим кривую, выходящую из выколотой точки $(1, \sqrt{2})$ и проходящую через $(3, 2)$ до точки $(5, \sqrt{6})$.

Теперь, используя построенный график, найдем требуемые значения.

a) найдите $f(-2,8)$, $f(3,84)$, $f(0)$;

Чтобы найти $f(-2,8)$, заметим, что значение $x = -2,8$ принадлежит отрезку $[-3; 1]$. Следовательно, используем первую формулу: $f(-2,8) = -2(-2,8) - 2 = 5,6 - 2 = 3,6$.

Чтобы найти $f(3,84)$, заметим, что значение $x = 3,84$ принадлежит полуинтервалу $(1; 5]$. Следовательно, используем вторую формулу: $f(3,84) = \sqrt{3,84 + 1} = \sqrt{4,84} = 2,2$.

Чтобы найти $f(0)$, заметим, что значение $x = 0$ принадлежит отрезку $[-3; 1]$. Следовательно, используем первую формулу: $f(0) = -2(0) - 2 = -2$.

Ответ: $f(-2,8) = 3,6$; $f(3,84) = 2,2$; $f(0) = -2$.

б) при каких значениях $x$ выполняются равенства $f(x) = 0$, $f(x) = 2$, $f(x) = 4$.

Чтобы найти $x$, при котором $f(x) = 0$, нужно найти точки пересечения графика с осью Ox (прямой $y=0$).

1) $-2x - 2 = 0 \implies -2x = 2 \implies x = -1$. Значение $-1$ принадлежит отрезку $[-3; 1]$, значит, это корень.

2) $\sqrt{x+1} = 0 \implies x+1 = 0 \implies x = -1$. Значение $-1$ не принадлежит полуинтервалу $(1; 5]$, значит, это не корень.

Следовательно, $f(x) = 0$ при $x = -1$.

Чтобы найти $x$, при котором $f(x) = 2$, нужно найти точки пересечения графика с прямой $y=2$.

1) $-2x - 2 = 2 \implies -2x = 4 \implies x = -2$. Значение $-2$ принадлежит отрезку $[-3; 1]$, значит, это корень.

2) $\sqrt{x+1} = 2 \implies x+1 = 4 \implies x = 3$. Значение $3$ принадлежит полуинтервалу $(1; 5]$, значит, это тоже корень.

Следовательно, $f(x) = 2$ при $x = -2$ и $x = 3$.

Чтобы найти $x$, при котором $f(x) = 4$, нужно найти точки пересечения графика с прямой $y=4$.

1) $-2x - 2 = 4 \implies -2x = 6 \implies x = -3$. Значение $-3$ принадлежит отрезку $[-3; 1]$, значит, это корень. Это одна из граничных точек отрезка.

2) $\sqrt{x+1} = 4 \implies x+1 = 16 \implies x = 15$. Значение $15$ не принадлежит полуинтервалу $(1; 5]$, значит, это не корень.

Следовательно, $f(x) = 4$ при $x = -3$.

Ответ: $f(x) = 0$ при $x = -1$; $f(x) = 2$ при $x = -2$ и $x = 3$; $f(x) = 4$ при $x = -3$.