Номер 21.50, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 21. Как построить график функции у = f(х+l), если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 21.50, страница 127.

Условие.

21.50 a) $\sqrt{x^2 - 4x + 4} = -2(x - 2)^2;$

б) $\sqrt{x^2 - 2x + 1} = \frac{2}{x};$

в) $\sqrt{x^2 + 6x + 9} = (x + 3)^2;$

г) $\sqrt{x^2 + 4x + 4} = -x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Исходное уравнение: $\sqrt{x^2 - 4x + 4} = -2(x - 2)^2$.
Заметим, что выражение под корнем является полным квадратом: $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$.
Используя свойство арифметического квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$, преобразуем левую часть уравнения:
$\sqrt{(x - 2)^2} = |x - 2|$.
Теперь уравнение имеет вид: $|x - 2| = -2(x - 2)^2$.
Проанализируем обе части уравнения. Левая часть, $|x - 2|$, по определению модуля, всегда неотрицательна, то есть $|x - 2| \ge 0$.
Правая часть, $-2(x - 2)^2$, всегда неположительна, так как $(x - 2)^2 \ge 0$, а умножение на $-2$ делает выражение меньшим или равным нулю.
Равенство между неотрицательным и неположительным числом возможно только в том случае, если оба числа равны нулю.
Следовательно, необходимо, чтобы выполнялось условие: $|x - 2| = 0$.
Это равносильно уравнению $x - 2 = 0$.
Отсюда находим $x = 2$.
Проверим найденный корень, подставив его в исходное уравнение:
$\sqrt{2^2 - 4(2) + 4} = -2(2 - 2)^2$
$\sqrt{4 - 8 + 4} = -2(0)^2$
$\sqrt{0} = 0$
$0 = 0$.
Равенство верное, значит, корень найден правильно.
Ответ: $2$.

б) Исходное уравнение: $\sqrt{x^2 - 2x + 1} = \frac{2}{x}$.
Выражение под корнем является полным квадратом: $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$.
Применяя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:
$\sqrt{(x - 1)^2} = |x - 1|$.
Уравнение принимает вид: $|x - 1| = \frac{2}{x}$.
Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. Левая часть уравнения $|x - 1|$ неотрицательна, значит, и правая часть должна быть неотрицательной: $\frac{2}{x} \ge 0$. Так как числитель $2 > 0$, то и знаменатель должен быть положительным: $x > 0$.
Итак, решаем уравнение при условии $x > 0$.
Рассмотрим два случая раскрытия модуля:
1. Если $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$. В этом случае $|x - 1| = x - 1$.
Уравнение становится: $x - 1 = \frac{2}{x}$.
Умножим обе части на $x$ (так как $x > 0$): $x(x - 1) = 2 \implies x^2 - x = 2 \implies x^2 - x - 2 = 0$.
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.
Корень $x = 2$ удовлетворяет условию $x \ge 1$. Корень $x = -1$ не удовлетворяет этому условию.
2. Если $x - 1 < 0$, то есть $0 < x < 1$ (с учетом ОДЗ $x > 0$). В этом случае $|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x$.
Уравнение становится: $1 - x = \frac{2}{x}$.
Умножим на $x$: $x(1 - x) = 2 \implies x - x^2 = 2 \implies x^2 - x + 2 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$.
Поскольку $D < 0$, у этого уравнения нет действительных корней.
Единственным решением является $x = 2$.
Ответ: $2$.

в) Исходное уравнение: $\sqrt{x^2 + 6x + 9} = (x + 3)^2$.
Выражение под корнем $x^2 + 6x + 9$ является полным квадратом $(x + 3)^2$.
Используем тождество $\sqrt{a^2} = |a|$:
$\sqrt{(x + 3)^2} = |x + 3|$.
Уравнение принимает вид: $|x + 3| = (x + 3)^2$.
Заметим, что $(x + 3)^2 = |x + 3|^2$. Сделаем замену $y = |x + 3|$, где $y \ge 0$.
Уравнение превращается в $y = y^2$.
$y^2 - y = 0$
$y(y - 1) = 0$.
Отсюда получаем два возможных значения для $y$: $y = 0$ или $y = 1$.
Вернемся к исходной переменной $x$:
1. Если $|x + 3| = 0$:
$x + 3 = 0 \implies x = -3$.
2. Если $|x + 3| = 1$:
Это уравнение распадается на два:
$x + 3 = 1 \implies x = -2$.
$x + 3 = -1 \implies x = -4$.
Таким образом, мы получили три корня.
Ответ: $-4; -3; -2$.

г) Исходное уравнение: $\sqrt{x^2 + 4x + 4} = -x$.
Преобразуем подкоренное выражение, которое является полным квадратом: $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$.
Применяя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:
$\sqrt{(x + 2)^2} = |x + 2|$.
Уравнение принимает вид: $|x + 2| = -x$.
Поскольку левая часть уравнения, модуль $|x + 2|$, всегда неотрицательна, правая часть также должна быть неотрицательной. Это накладывает ограничение на $x$:
$-x \ge 0 \implies x \le 0$.
Теперь решим уравнение $|x + 2| = -x$ с учетом этого ограничения. Можно возвести обе части в квадрат, так как они обе неотрицательны при $x \le 0$:
$(|x + 2|)^2 = (-x)^2$
$(x + 2)^2 = x^2$
$x^2 + 4x + 4 = x^2$
$4x + 4 = 0$
$4x = -4$
$x = -1$.
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x = -1$ нашему ограничению $x \le 0$. Да, $-1 \le 0$.
Выполним проверку, подставив корень в исходное уравнение:
$\sqrt{(-1)^2 + 4(-1) + 4} = -(-1)$
$\sqrt{1 - 4 + 4} = 1$
$\sqrt{1} = 1$
$1 = 1$.
Равенство верное.
Ответ: $-1$.