Номер 21.45, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 21. Как построить график функции у = f(х+l), если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 21.45, страница 127.

Условие.

21.45 Пусть P — наибольшее значение функции $y = -(x + 5)^2$ на отрезке $[-6; -4]$, а Q — наибольшее значение функции $y = -2(x - 1)^2$ на отрезке $[0; 2]$. Сравните числа P и Q. Сделайте графическую иллюстрацию.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Нахождение P

Рассмотрим функцию $y = -(x + 5)^2$ на отрезке $[-6; -4]$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при квадрате равен -1, что меньше нуля). Вершина параболы является её точкой максимума. Координаты вершины параболы вида $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ равны $(x_0; y_0)$. Для функции $y = -(x + 5)^2 = -(x - (-5))^2 + 0$ вершина находится в точке с абсциссой $x_0 = -5$. Поскольку абсцисса вершины $x = -5$ принадлежит заданному отрезку $[-6; -4]$, наибольшее значение функции на этом отрезке достигается в вершине. Найдем это значение: $P = y_{наиб} = y(-5) = -(-5 + 5)^2 = -(0)^2 = 0$.

Для проверки можно найти значения функции на концах отрезка: $y(-6) = -(-6 + 5)^2 = -(-1)^2 = -1$. $y(-4) = -(-4 + 5)^2 = -(1)^2 = -1$. Сравнивая значения $y(-6)=-1$, $y(-5)=0$ и $y(-4)=-1$, видим, что наибольшее значение действительно равно 0.

Ответ: $P = 0$.

Нахождение Q

Рассмотрим функцию $y = -2(x - 1)^2$ на отрезке $[0; 2]$. Графиком этой функции также является парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при квадрате равен -2, что меньше нуля). Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x_0 = 1$. Поскольку абсцисса вершины $x = 1$ принадлежит заданному отрезку $[0; 2]$, наибольшее значение функции на этом отрезке достигается в вершине. Найдем это значение: $Q = y_{наиб} = y(1) = -2(1 - 1)^2 = -2(0)^2 = 0$.

Для проверки можно найти значения функции на концах отрезка: $y(0) = -2(0 - 1)^2 = -2(-1)^2 = -2$. $y(2) = -2(2 - 1)^2 = -2(1)^2 = -2$. Сравнивая значения $y(0)=-2$, $y(1)=0$ и $y(2)=-2$, видим, что наибольшее значение на отрезке равно 0.

Ответ: $Q = 0$.

Сравнение P и Q

Мы нашли, что наибольшее значение первой функции на отрезке $[-6; -4]$ равно $P = 0$, и наибольшее значение второй функции на отрезке $[0; 2]$ равно $Q = 0$. Следовательно, числа P и Q равны.

Ответ: $P = Q$.

Графическая иллюстрация

Построим графики функций $y = -(x + 5)^2$ (синий цвет) и $y = -2(x - 1)^2$ (красный цвет). Части графиков на заданных отрезках $[-6; -4]$ и $[0; 2]$ выделены более жирной линией.