Номер 21.43, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 21. Как построить график функции у = f(х+l), если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 21.43, страница 126.

Условие.

21.43 Пусть $M$ — наименьшее значение функции $y = 5(x + 3)^2$ на отрезке $[-4; -2]$, а $N$ — наибольшее значение функции $y = 2x + 3$ на отрезке $[0; 1]$. Что больше: $M$ или $N$? Сделайте графическую иллюстрацию.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

1. Нахождение наименьшего значения M функции $y = 5(x + 3)^2$ на отрезке $[-4; -2]$

Данная функция $y = 5(x + 3)^2$ является квадратичной, ее график — парабола. Так как коэффициент при скобке в квадрате $a = 5 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Вершина параболы является ее точкой минимума. Координаты вершины можно найти из вида уравнения $y = a(x - x_v)^2 + y_v$. В нашем случае $y = 5(x - (-3))^2 + 0$.

Следовательно, вершина находится в точке с координатами $(x_v, y_v) = (-3, 0)$.

Проверим, принадлежит ли абсцисса вершины $x_v = -3$ заданному отрезку $[-4; -2]$. Да, принадлежит, так как $-4 \le -3 \le -2$.

Поскольку точка минимума (вершина) находится внутри отрезка, наименьшее значение функции на этом отрезке равно ординате вершины.

Таким образом, $M = y_{min} = y(-3) = 0$.

Ответ: $M = 0$.

2. Нахождение наибольшего значения N функции $y = 2x + 3$ на отрезке $[0; 1]$

Данная функция $y = 2x + 3$ является линейной. Ее график — прямая.

Угловой коэффициент (коэффициент при $x$) равен $k=2$. Так как $k > 0$, функция является возрастающей на всей своей области определения, включая отрезок $[0; 1]$.

Для возрастающей функции наибольшее значение на отрезке достигается в его правом конце, то есть при $x = 1$.

Найдем это значение:

$N = y_{max} = y(1) = 2 \cdot 1 + 3 = 5$.

Ответ: $N = 5$.

3. Сравнение M и N

Мы получили значения $M = 0$ и $N = 5$.

Сравнивая эти два числа, очевидно, что $5 > 0$.

Следовательно, $N > M$.

Ответ: $N$ больше, чем $M$.

4. Графическая иллюстрация

Построим графики обеих функций на заданных отрезках в одной системе координат.

График функции $y = 5(x + 3)^2$ на отрезке $[-4; -2]$ — это часть параболы (показана синим цветом) с вершиной в точке $(-3; 0)$. В этой точке достигается наименьшее значение функции $M=0$.

График функции $y = 2x + 3$ на отрезке $[0; 1]$ — это отрезок прямой (показан красным цветом), который соединяет точки $(0; 3)$ и $(1; 5)$. В точке $(1; 5)$ достигается наибольшее значение функции $N=5$.