Номер 21.46, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 21. Как построить график функции у = f(х+l), если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 21.46, страница 127.

Условие.

Решите графически уравнение:

21.46 а) $|x - 2| = x^2$;

б) $|x + 1| = -2x^2$;

в) $|x - 3| = \sqrt{x - 1}$;

г) $|x + 5| = -x - 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Для решения уравнения $|x - 2| = x^2$ графическим методом построим в одной системе координат графики двух функций: $y = |x - 2|$ и $y = x^2$.

График функции $y = |x - 2|$ — это график модуля $y = |x|$, смещенный на 2 единицы вправо по оси абсцисс. Он представляет собой "угол", вершина которого находится в точке $(2, 0)$. График состоит из двух лучей: $y = -x + 2$ при $x < 2$ и $y = x - 2$ при $x \ge 2$.

График функции $y = x^2$ — это стандартная парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат $(0, 0)$.

Абсциссы точек пересечения этих графиков являются решениями исходного уравнения. Построив графики, мы увидим, что они пересекаются в двух точках. Найдем их координаты для проверки.

Первая точка пересечения имеет координаты $(1, 1)$. Проверим: $|1 - 2| = |-1| = 1$ и $1^2 = 1$. Равенство $1=1$ верно.

Вторая точка пересечения имеет координаты $(-2, 4)$. Проверим: $|-2 - 2| = |-4| = 4$ и $(-2)^2 = 4$. Равенство $4=4$ верно.

Следовательно, уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 1$.

б) Для решения уравнения $|x + 1| = -2x^2$ графическим методом построим в одной системе координат графики функций $y = |x + 1|$ и $y = -2x^2$.

График функции $y = |x + 1|$ — это график модуля $y = |x|$, смещенный на 1 единицу влево по оси абсцисс. Вершина "угла" находится в точке $(-1, 0)$. Значения этой функции всегда неотрицательны, то есть $y \ge 0$ при любом $x$.

График функции $y = -2x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в начале координат $(0, 0)$. Значения этой функции всегда неположительны, то есть $y \le 0$ при любом $x$.

Равенство $|x + 1| = -2x^2$ может выполняться только в том случае, если обе части уравнения равны нулю, так как левая часть всегда $y \ge 0$, а правая всегда $y \le 0$.

Левая часть $|x + 1| = 0$ при $x = -1$.

Правая часть $-2x^2 = 0$ при $x = 0$.

Поскольку не существует такого значения $x$, при котором обе части уравнения одновременно обращаются в ноль, а во всех остальных случаях левая часть строго положительна, а правая строго отрицательна, то графики не имеют общих точек. Они касаются оси Ox в разных точках: $(-1,0)$ и $(0,0)$. Таким образом, графики не пересекаются.

Ответ: нет решений.

в) Для решения уравнения $|x - 3| = \sqrt{x - 1}$ графическим методом построим в одной системе координат графики функций $y = |x - 3|$ и $y = \sqrt{x - 1}$.

Прежде всего, найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x - 1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$. Будем строить графики только для $x \ge 1$.

График функции $y = |x - 3|$ — это "угол" с вершиной в точке $(3, 0)$.

График функции $y = \sqrt{x - 1}$ — это верхняя ветвь параболы $y^2=x-1$, которая является графиком функции $y = \sqrt{x}$, смещенным на 1 единицу вправо. Начальная точка графика — $(1, 0)$.

Абсциссы точек пересечения графиков являются решениями уравнения. Из построенных графиков видно, что существует две точки пересечения.

Первая точка пересечения имеет координаты $(2, 1)$. Проверим: $|2 - 3| = |-1| = 1$ и $\sqrt{2 - 1} = \sqrt{1} = 1$. Равенство $1=1$ верно.

Вторая точка пересечения имеет координаты $(5, 2)$. Проверим: $|5 - 3| = |2| = 2$ и $\sqrt{5 - 1} = \sqrt{4} = 2$. Равенство $2=2$ верно.

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = 5$.

г) Для решения уравнения $|x + 5| = -x - 1$ графическим методом построим в одной системе координат графики функций $y = |x + 5|$ и $y = -x - 1$.

Заметим, что левая часть уравнения $|x + 5|$ всегда неотрицательна, поэтому и правая часть должна быть неотрицательной: $-x - 1 \ge 0$, что означает $-x \ge 1$, или $x \le -1$. Это значит, что решения могут существовать только при $x \le -1$.

График функции $y = |x + 5|$ — это "угол", который является графиком $y=|x|$, смещенным на 5 единиц влево по оси абсцисс. Вершина находится в точке $(-5, 0)$. График состоит из двух лучей: $y = -x - 5$ при $x < -5$ и $y = x + 5$ при $x \ge -5$.

График функции $y = -x - 1$ — это прямая линия. Для ее построения найдем две точки: например, $(-1, 0)$ и $(-5, 4)$.

Построив графики, видим, что они пересекаются в одной точке. Эта точка лежит на луче $y = x + 5$ (поскольку ее абсцисса $x > -5$). Найдем координаты точки пересечения, приравняв выражения для $y$: $x + 5 = -x - 1$.

Решим полученное уравнение: $2x = -6$, откуда $x = -3$.

Найдем ординату точки: $y = -3 + 5 = 2$. Точка пересечения — $(-3, 2)$.

Абсцисса точки пересечения и есть решение уравнения.

Ответ: $x = -3$.