Номер 21.49, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 21. Как построить график функции у = f(х+l), если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 21.49, страница 127.

Условие.

21.49 a) $(x-1)^2 = |x-3|$;

б) $\sqrt{x+2} = \frac{2}{x-1}$;

в) $(x+1)^2 = \frac{4}{x}$;

г) $|x+1| = \sqrt{x+3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $(x - 1)^2 = |x - 3|$

Для решения уравнения с модулем рассмотрим два случая.

1. Если $x - 3 \geq 0$, то есть $x \geq 3$.

В этом случае $|x - 3| = x - 3$, и уравнение принимает вид:

$(x - 1)^2 = x - 3$

$x^2 - 2x + 1 = x - 3$

$x^2 - 3x + 4 = 0$

Вычислим дискриминант этого квадратного уравнения: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), действительных корней в этом случае нет.

2. Если $x - 3 < 0$, то есть $x < 3$.

В этом случае $|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$, и уравнение принимает вид:

$(x - 1)^2 = 3 - x$

$x^2 - 2x + 1 = 3 - x$

$x^2 - x - 2 = 0$

Корни этого уравнения можно найти по теореме Виета: $x_1 + x_2 = 1$ и $x_1 \cdot x_2 = -2$. Отсюда $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Оба найденных корня удовлетворяют условию $x < 3$.

Проверим найденные решения подстановкой в исходное уравнение:

Для $x = 2$: $(2 - 1)^2 = 1^2 = 1$ и $|2 - 3| = |-1| = 1$. Равенство $1 = 1$ верно.

Для $x = -1$: $(-1 - 1)^2 = (-2)^2 = 4$ и $|-1 - 3| = |-4| = 4$. Равенство $4 = 4$ верно.

Ответ: $-1; 2$.

б) $\sqrt{x + 2} = \frac{2}{x - 1}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ) уравнения.

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x + 2 \geq 0$, откуда $x \geq -2$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x - 1 \neq 0$, откуда $x \neq 1$.

3. Левая часть уравнения, $\sqrt{x+2}$, всегда неотрицательна. Следовательно, и правая часть должна быть неотрицательной: $\frac{2}{x - 1} \geq 0$. Так как числитель $2 > 0$, то и знаменатель должен быть положительным: $x - 1 > 0$, откуда $x > 1$.

Пересечение всех условий ($x \geq -2$, $x \neq 1$ и $x > 1$) дает нам ОДЗ: $x > 1$.

На этой области возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x + 2})^2 = \left(\frac{2}{x - 1}\right)^2$

$x + 2 = \frac{4}{(x - 1)^2}$

$(x + 2)(x - 1)^2 = 4$

$(x + 2)(x^2 - 2x + 1) = 4$

$x^3 - 2x^2 + x + 2x^2 - 4x + 2 = 4$

$x^3 - 3x - 2 = 0$

Это кубическое уравнение. Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена $-2$: $\pm 1, \pm 2$.

Подстановка $x=2$ дает: $2^3 - 3(2) - 2 = 8 - 6 - 2 = 0$. Значит, $x=2$ является корнем.

Разделив многочлен $x^3 - 3x - 2$ на $(x - 2)$, получим $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$.

Таким образом, уравнение можно записать как $(x - 2)(x + 1)^2 = 0$.

Корнями этого уравнения являются $x = 2$ и $x = -1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 1$):

Корень $x = 2$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x = -1$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому является посторонним.

Ответ: $2$.

в) $(x + 1)^2 = \frac{4}{x}$

Определим ОДЗ. Знаменатель не может быть равен нулю, т.е. $x \neq 0$.

Левая часть уравнения, $(x+1)^2$, всегда неотрицательна. Значит, правая часть тоже должна быть неотрицательной: $\frac{4}{x} \geq 0$. Поскольку $4>0$, это условие выполняется при $x > 0$.

Итак, ОДЗ: $x > 0$.

Решим уравнение на этой области:

$x(x + 1)^2 = 4$

$x(x^2 + 2x + 1) = 4$

$x^3 + 2x^2 + x - 4 = 0$

Будем искать целые корни среди положительных делителей свободного члена $-4$: $1, 2, 4$.

Проверим $x=1$: $1^3 + 2(1)^2 + 1 - 4 = 1 + 2 + 1 - 4 = 0$. Корень $x=1$ подходит.

Разложим левую часть на множители, разделив многочлен на $(x-1)$:

$(x - 1)(x^2 + 3x + 4) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $x - 1 = 0$, откуда $x = 1$.

2) $x^2 + 3x + 4 = 0$. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$. Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Единственный действительный корень $x = 1$. Он удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $1$.

г) $|x + 1| = \sqrt{x + 3}$

ОДЗ определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $x + 3 \geq 0$, то есть $x \geq -3$.

На ОДЗ обе части уравнения неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат, не опасаясь появления посторонних корней:

$(|x + 1|)^2 = (\sqrt{x + 3})^2$

Так как $|a|^2 = a^2$, получаем:

$(x + 1)^2 = x + 3$

$x^2 + 2x + 1 = x + 3$

$x^2 + x - 2 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение равно $-2$. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \geq -3$):

$1 \geq -3$ (верно).

$-2 \geq -3$ (верно).

Проверим решения подстановкой в исходное уравнение:

При $x=1$: $|1+1|=\sqrt{1+3} \Rightarrow |2|=\sqrt{4} \Rightarrow 2=2$. Верно.

При $x=-2$: $|-2+1|=\sqrt{-2+3} \Rightarrow |-1|=\sqrt{1} \Rightarrow 1=1$. Верно.

Ответ: $-2; 1$.