Номер 21.41, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 21. Как построить график функции у = f(х+l), если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 21.41, страница 126.

Условие.

21.41 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции

$y = \sqrt{x^2 - 10x + 25}$:

а) на отрезке $[4; 7]$;

б) на луче $(-\infty; 5]$;

в) на луче $[2; +\infty)$;

г) на полуинтервале $[-1; 6)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для начала упростим данную функцию. Выражение под корнем представляет собой полный квадрат разности:

$x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$

Следовательно, функция принимает вид:

$y = \sqrt{(x - 5)^2} = |x - 5|$

Это функция модуля, график которой представляет собой "галочку" с вершиной в точке $x = 5$. В этой точке функция достигает своего глобального минимума, равного $y(5) = |5 - 5| = 0$. При $x < 5$ функция убывает (представляется как $y = -(x-5) = 5-x$), а при $x > 5$ функция возрастает (представляется как $y = x - 5$).

Теперь найдем наименьшее и наибольшее значения функции на каждом из заданных промежутков.

а) на отрезке [4; 7];

Данный отрезок $[4; 7]$ содержит точку минимума функции $x=5$. Следовательно, наименьшее значение функции на этом отрезке достигается в этой точке:

$y_{наим} = y(5) = |5 - 5| = 0$

Наибольшее значение на отрезке ищется среди значений на его концах. Вычислим значения функции в точках $x = 4$ и $x = 7$:

$y(4) = |4 - 5| = |-1| = 1$

$y(7) = |7 - 5| = |2| = 2$

Сравнивая полученные значения, находим, что наибольшее значение равно 2.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 2.

б) на луче (-∞; 5];

На данном луче $x \le 5$. На этом промежутке функция имеет вид $y = 5 - x$. Это линейная убывающая функция. Наименьшее значение достигается в крайней правой точке промежутка, то есть при $x = 5$:

$y_{наим} = y(5) = |5 - 5| = 0$

Поскольку функция убывает на всем луче $(-\infty; 5]$, при $x \to -\infty$ значение $y$ неограниченно возрастает ($y \to +\infty$). Следовательно, наибольшего значения у функции на этом луче не существует.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшего значения не существует.

в) на луче [2; +∞);

Данный луч $[2; +\infty)$ содержит точку минимума функции $x=5$. Следовательно, наименьшее значение функции на этом луче также достигается в этой точке:

$y_{наим} = y(5) = |5 - 5| = 0$

На промежутке $[5; +\infty)$, который является частью рассматриваемого луча, функция возрастает ($y = x - 5$). При $x \to +\infty$ значение $y$ также неограниченно возрастает. Следовательно, наибольшего значения у функции на этом луче не существует.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшего значения не существует.

г) на полуинтервале [-1; 6).

Данный полуинтервал $[-1; 6)$ содержит точку минимума функции $x=5$. Таким образом, наименьшее значение функции на этом промежутке достигается в этой точке:

$y_{наим} = y(5) = |5 - 5| = 0$

Для нахождения наибольшего значения нужно исследовать поведение функции на концах промежутка. Левый конец $x = -1$ принадлежит промежутку, а правый $x = 6$ — нет.

Вычислим значение в левой точке:

$y(-1) = |-1 - 5| = |-6| = 6$

Рассмотрим поведение функции вблизи правого конца. При $x$, стремящемся к 6 слева, значение $y$ стремится к $|6-5| = 1$. Так как точка $x=6$ не включена в интервал, значение 1 не достигается. Сравнивая значение на левом конце $y(-1)=6$ со значениями на остальной части интервала (которые не превышают 6), делаем вывод, что 6 является наибольшим значением.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 6.