Номер 21.34, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 21. Как построить график функции у = f(х+l), если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 21.34, страница 125.

Условие.

21.34 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} -\frac{2}{x+1}, & \text{если } -3 \le x < -1; \\ -x^2, & \text{если } -1 \le x \le 2. \end{cases}$

a) Найдите $f(-1.5)$; $f(-1)$; $f(2)$.

б) Постройте график функции $y = f(x)$.

в) Перечислите свойства функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Найдите f(-1,5); f(-1); f(2).

Дана кусочно-заданная функция $f(x) = \begin{cases} -\frac{2}{x+1}, & \text{если } -3 \le x < -1; \\ -x^2, & \text{если } -1 \le x \le 2. \end{cases}$
Для вычисления значения функции в заданной точке необходимо сначала определить, какому из промежутков области определения принадлежит аргумент $x$.

1. Вычисление $f(-1,5)$
Значение $x = -1,5$ удовлетворяет условию $-3 \le -1,5 < -1$. Следовательно, для вычисления значения функции используем первую формулу: $f(x) = -\frac{2}{x+1}$.
Подставляем $x = -1,5$:
$f(-1,5) = -\frac{2}{-1,5+1} = -\frac{2}{-0,5} = 4$.

2. Вычисление $f(-1)$
Значение $x = -1$ удовлетворяет условию $-1 \le -1 \le 2$. Следовательно, для вычисления значения функции используем вторую формулу: $f(x) = -x^2$.
Подставляем $x = -1$:
$f(-1) = -(-1)^2 = -(1) = -1$.

3. Вычисление $f(2)$
Значение $x = 2$ удовлетворяет условию $-1 \le 2 \le 2$. Следовательно, используем вторую формулу: $f(x) = -x^2$.
Подставляем $x = 2$:
$f(2) = -(2)^2 = -4$.

Ответ: $f(-1,5) = 4$; $f(-1) = -1$; $f(2) = -4$.

б) Постройте график функции y = f(x).

График функции $y = f(x)$ состоит из двух частей, построенных на разных промежутках.

1. На промежутке $[-3, -1)$ строим график функции $y = -\frac{2}{x+1}$. Это ветвь гиперболы $y = -2/x$, смещенной на 1 единицу влево по оси абсцисс. Вертикальная асимптота графика — прямая $x = -1$.
Вычислим координаты нескольких точек для построения:
- Левая граница: $x = -3$, $y = -\frac{2}{-3+1} = 1$. Точка $(-3, 1)$ включена в график (сплошная точка).
- Промежуточная точка: $x = -2$, $y = -\frac{2}{-2+1} = 2$. Точка $(-2, 2)$.
- При приближении $x$ к $-1$ слева ($x \to -1^-$), знаменатель $(x+1)$ стремится к $0$ оставаясь отрицательным, значит $y = -\frac{2}{x+1} \to +\infty$.

2. На промежутке $[-1, 2]$ строим график функции $y = -x^2$. Это часть параболы, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в начале координат.
Вычислим координаты ключевых точек:
- Левая граница: $x = -1$, $y = -(-1)^2 = -1$. Точка $(-1, -1)$ включена в график (сплошная точка).
- Вершина параболы: $x = 0$, $y = -(0)^2 = 0$. Точка $(0, 0)$.
- Правая граница: $x = 2$, $y = -(2)^2 = -4$. Точка $(2, -4)$ включена в график (сплошная точка).

Объединяя эти две части, получаем итоговый график функции:

Ответ: График функции построен и представлен на рисунке.

в) Перечислите свойства функции.

1. Область определения функции: Объединение промежутков $[-3, -1)$ и $[-1, 2]$.
$D(f) = [-3, 2]$.

2. Область значений функции: На промежутке $[-3, -1)$ значения изменяются от $f(-3)=1$ до $+\infty$. На промежутке $[-1, 2]$ значения изменяются от $f(2)=-4$ до $f(0)=0$.
$E(f) = [-4, 0] \cup [1, +\infty)$.

3. Непрерывность: Функция непрерывна на каждом из интервалов $[-3, -1)$ и $[-1, 2]$. В точке $x = -1$ функция имеет разрыв второго рода, так как левый предел бесконечен ($\lim_{x \to -1^-} f(x) = +\infty$), а значение в точке конечно ($f(-1)=-1$).

4. Нули функции: $f(x) = 0$.
- На $[-3, -1)$ уравнение $-\frac{2}{x+1} = 0$ не имеет решений.
- На $[-1, 2]$ уравнение $-x^2 = 0$ имеет решение $x=0$.
Единственный нуль функции: $x = 0$.

5. Промежутки знакопостоянства:
- $f(x) > 0$ при $x \in [-3, -1)$, так как на этом промежутке $x+1 < 0$ и $-\frac{2}{x+1} > 0$.
- $f(x) < 0$ при $x \in [-1, 0) \cup (0, 2]$, так как на этом промежутке $-x^2 \le 0$ и равно нулю только при $x=0$.

6. Промежутки монотонности (возрастания и убывания):
- Функция возрастает на промежутках $[-3, -1)$ (производная $y' = \frac{2}{(x+1)^2} > 0$) и $[-1, 0]$ (производная $y' = -2x > 0$).
- Функция убывает на промежутке $[0, 2]$ (производная $y' = -2x < 0$).

7. Точки экстремума:
- $x=0$ — точка локального максимума, $y_{max} = f(0) = 0$.
- Наибольшего значения функция не имеет, так как неограничена сверху.
- Наименьшее значение функции достигается в точке $x=2$, $y_{min} = f(2) = -4$.

8. Четность и нечетность: Область определения $D(f) = [-3, 2]$ несимметрична относительно нуля, поэтому функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего вида).

Ответ: Основные свойства функции перечислены в пунктах 1-8.