Номер 21.32, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 21. Как построить график функции у = f(х+l), если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 21.32, страница 125.

Условие.

21.32 a) $\frac{2}{x-1} = |x|;$

б) $\frac{2}{x-2} = \sqrt{x+1};$

в) $|x| = -\frac{3}{x+2};$

г) $\sqrt{x} = \frac{4}{x-2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Исходное уравнение: $\frac{2}{x-1} = |x|$.
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x-1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.
Так как правая часть уравнения, $|x|$, всегда неотрицательна ($|x| \ge 0$), то и левая часть должна быть неотрицательна: $\frac{2}{x-1} \ge 0$.
Поскольку числитель 2 положителен, знаменатель также должен быть положителен: $x-1 > 0$, откуда $x > 1$.
При условии $x > 1$ модуль раскрывается как $|x| = x$.
Уравнение принимает вид: $\frac{2}{x-1} = x$.
Умножим обе части на $(x-1)$: $2 = x(x-1)$.
$2 = x^2 - x$.
$x^2 - x - 2 = 0$.
Это квадратное уравнение. Найдем его корни, например, по теореме Виета. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.
Проверим корни на соответствие условию $x > 1$.
Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию, так как $2 > 1$.
Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию, так как $-1 \ngtr 1$.
Следовательно, единственным решением является $x = 2$.
Проверка: подставим $x=2$ в исходное уравнение. Левая часть: $\frac{2}{2-1} = \frac{2}{1} = 2$. Правая часть: $|2| = 2$. Равенство $2=2$ верно.
Ответ: $2$.

б) Исходное уравнение: $\frac{2}{x-2} = \sqrt{x+1}$.
Найдем ОДЗ:
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.
2. Знаменатель дроби не равен нулю: $x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$.
3. Правая часть $\sqrt{x+1}$ неотрицательна, значит и левая часть должна быть неотрицательна: $\frac{2}{x-2} \ge 0$. Так как числитель 2 положителен, то и знаменатель должен быть положителен: $x-2 > 0 \implies x > 2$.
Объединяя все условия ($x \ge -1$, $x \neq 2$, $x > 2$), получаем, что решение нужно искать при $x > 2$.
Для решения уравнения возведем обе его части в квадрат:
$(\frac{2}{x-2})^2 = (\sqrt{x+1})^2$
$\frac{4}{(x-2)^2} = x+1$
$4 = (x+1)(x-2)^2$
$4 = (x+1)(x^2 - 4x + 4)$
$4 = x^3 - 4x^2 + 4x + x^2 - 4x + 4$
$4 = x^3 - 3x^2 + 4$
$x^3 - 3x^2 = 0$
Вынесем общий множитель $x^2$: $x^2(x-3) = 0$.
Отсюда получаем два возможных корня: $x=0$ или $x=3$.
Проверим корни на соответствие условию $x > 2$.
Корень $x=0$ не удовлетворяет условию ($0 \ngtr 2$).
Корень $x=3$ удовлетворяет условию ($3 > 2$).
Проверка: подставим $x=3$ в исходное уравнение. Левая часть: $\frac{2}{3-2} = \frac{2}{1} = 2$. Правая часть: $\sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$. Равенство $2=2$ верно.
Ответ: $3$.

в) Исходное уравнение: $|x| = -\frac{3}{x+2}$.
ОДЗ: знаменатель не равен нулю, $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$.
Левая часть уравнения $|x|$ всегда неотрицательна. Следовательно, и правая часть должна быть неотрицательна: $-\frac{3}{x+2} \ge 0$.
Умножим неравенство на -1, изменив знак: $\frac{3}{x+2} \le 0$.
Так как числитель 3 положителен, знаменатель должен быть отрицателен: $x+2 < 0 \implies x < -2$.
На интервале $(-\infty; -2)$ модуль раскрывается как $|x| = -x$.
Уравнение принимает вид: $-x = -\frac{3}{x+2}$.
$x = \frac{3}{x+2}$.
$x(x+2) = 3$.
$x^2 + 2x - 3 = 0$.
Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.
Проверим корни на соответствие условию $x < -2$.
Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию ($1 \nless -2$).
Корень $x_2 = -3$ удовлетворяет условию ($-3 < -2$).
Проверка: подставим $x=-3$ в исходное уравнение. Левая часть: $|-3| = 3$. Правая часть: $-\frac{3}{-3+2} = -\frac{3}{-1} = 3$. Равенство $3=3$ верно.
Ответ: $-3$.

г) Исходное уравнение: $\sqrt{x} = \frac{4}{x-2}$.
Найдем ОДЗ:
1. Выражение под корнем неотрицательно: $x \ge 0$.
2. Знаменатель не равен нулю: $x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$.
3. Левая часть $\sqrt{x}$ неотрицательна, значит и правая часть должна быть неотрицательна: $\frac{4}{x-2} \ge 0$. Так как числитель 4 положителен, знаменатель должен быть положителен: $x-2 > 0 \implies x > 2$.
Объединяя условия ($x \ge 0$, $x \neq 2$, $x > 2$), получаем $x > 2$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = (\frac{4}{x-2})^2$
$x = \frac{16}{(x-2)^2}$
$x(x-2)^2 = 16$
$x(x^2 - 4x + 4) = 16$
$x^3 - 4x^2 + 4x - 16 = 0$
Сгруппируем слагаемые: $(x^3 - 4x^2) + (4x - 16) = 0$.
$x^2(x-4) + 4(x-4) = 0$.
$(x^2+4)(x-4) = 0$.
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.
Уравнение $x^2+4=0$ не имеет действительных корней, так как $x^2$ не может быть равно $-4$.
Уравнение $x-4=0$ дает корень $x=4$.
Проверим корень на соответствие условию $x > 2$.
Корень $x=4$ удовлетворяет условию ($4 > 2$).
Проверка: подставим $x=4$ в исходное уравнение. Левая часть: $\sqrt{4} = 2$. Правая часть: $\frac{4}{4-2} = \frac{4}{2} = 2$. Равенство $2=2$ верно.
Ответ: $4$.