Номер 21.28, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 21. Как построить график функции у = f(х+l), если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 21.28, страница 125.

Условие.

21.28 Постройте график функции $y = |x - 2|$. С помощью графика найдите:

а) значения $y$ при $x = -3$; 0; 1;

б) значения $x$, если $y = 1$; 0; 4;

в) промежутки возрастания и убывания функции;

г) значения аргумента, удовлетворяющие условию $y > 2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для построения графика функции $y = |x - 2|$ раскроем модуль. По определению, $|a| = a$ при $a \ge 0$ и $|a| = -a$ при $a < 0$.

Таким образом, функция $y = |x - 2|$ может быть записана в виде системы:

$ y = \begin{cases} x - 2, & \text{если } x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2 \\ -(x - 2), & \text{если } x - 2 < 0 \implies x < 2 \end{cases} $

То есть, $ y = \begin{cases} x - 2, & \text{при } x \ge 2 \\ -x + 2, & \text{при } x < 2 \end{cases} $

График состоит из двух лучей, сходящихся в точке, где подмодульное выражение равно нулю, то есть $x - 2 = 0 \implies x = 2$. При $x=2$ значение функции $y = |2-2|=0$. Следовательно, вершина графика находится в точке с координатами $(2, 0)$.

Для построения луча $y = x - 2$ на промежутке $x \ge 2$ возьмем еще одну точку, например, при $x=4$, $y=4-2=2$. Получаем точку $(4, 2)$.

Для построения луча $y = -x + 2$ на промежутке $x < 2$ возьмем точку, например, при $x=0$, $y=-0+2=2$. Получаем точку $(0, 2)$.

Соединив точку $(2,0)$ с точками $(4,2)$ и $(0,2)$ лучами, получим график функции — V-образную линию ("галочку").

Используя этот график (и аналитические вычисления для точности), ответим на вопросы задачи.

---

а) значения у при x = -3; 0; 1;

Чтобы найти значения $y$ по графику, нужно найти на оси абсцисс ($x$) заданные значения, провести от них вертикальные линии до пересечения с графиком функции, а затем от точек пересечения провести горизонтальные линии до оси ординат ($y$). Проверим вычислением:

При $x = -3$: $y = |-3 - 2| = |-5| = 5$.
При $x = 0$: $y = |0 - 2| = |-2| = 2$.
При $x = 1$: $y = |1 - 2| = |-1| = 1$.

Ответ: при $x = -3$ значение $y = 5$; при $x = 0$ значение $y = 2$; при $x = 1$ значение $y = 1$.

б) значения x, если y = 1; 0; 4;

Чтобы найти значения $x$ при заданных $y$, нужно провести горизонтальную прямую на соответствующем уровне $y$ и найти абсциссы точек её пересечения с графиком функции. Алгебраически это соответствует решению уравнения $|x-2|=y$.

При $y = 1$: решаем $|x - 2| = 1$. Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $x - 2 = 1$ или $x - 2 = -1$. Отсюда получаем $x = 3$ и $x = 1$.
При $y = 0$: решаем $|x - 2| = 0$. Это уравнение имеет единственное решение $x - 2 = 0$, то есть $x = 2$. Это абсцисса вершины графика.
При $y = 4$: решаем $|x - 2| = 4$. Получаем два уравнения: $x - 2 = 4$ или $x - 2 = -4$. Отсюда получаем $x = 6$ и $x = -2$.

Ответ: при $y = 1$, $x=1$ или $x=3$; при $y = 0$, $x=2$; при $y = 4$, $x=-2$ или $x=6$.

в) промежутки возрастания и убывания функции;

Промежутки возрастания и убывания функции определяются по поведению графика при движении слева направо вдоль оси $x$. График функции $y = |x - 2|$ имеет вершину в точке $(2, 0)$.

Слева от вершины, то есть при $x < 2$, график "идет вниз", что означает, что функция убывает.
Справа от вершины, то есть при $x > 2$, график "идет вверх", что означает, что функция возрастает.
Точка $x=2$ является точкой минимума, в которой функция меняет свое поведение с убывания на возрастание.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 2]$ и возрастает на промежутке $[2, +\infty)$.

г) значения аргумента, удовлетворяющие условию y > 2.

Найти значения $x$, при которых $y > 2$, — значит решить неравенство $|x - 2| > 2$. На графике это соответствует тем частям, которые расположены выше горизонтальной прямой $y = 2$.

Сначала найдем точки, в которых $y = 2$. Решим уравнение $|x - 2| = 2$.
$x - 2 = 2 \implies x = 4$
$x - 2 = -2 \implies x = 0$
График пересекает прямую $y=2$ в точках с абсциссами $x=0$ и $x=4$.

Из графика видно, что значения $y$ больше 2, когда $x$ находится левее точки $x=0$ или правее точки $x=4$. Это соответствует решению неравенства $|x-2| > 2$, которое распадается на два случая:
1. $x - 2 > 2 \implies x > 4$
2. $x - 2 < -2 \implies x < 0$

Ответ: $y > 2$ при $x \in (-\infty, 0) \cup (4, +\infty)$.