Номер 21.26, страница 124, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 21. Как построить график функции у = f(х+l), если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 21.26, страница 124.

Условие.

21.26 Используя график функции $y = \sqrt{x+4}$, найдите:

а) значения $y$ при $x = -4$; 0; 5;

б) значения $x$, если $y = 1$; 0; 3;

в) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке $[-3; 0]$;

г) значения аргумента, удовлетворяющие условию $0 < y < 3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) значения у при x = -4; 0; 5;

Чтобы найти значения функции $y$ при заданных значениях аргумента $x$, мы подставляем эти значения в уравнение функции $y = \sqrt{x+4}$. Это эквивалентно нахождению на графике точек с заданными абсциссами и определению их ординат.

• При $x = -4$:
  $y = \sqrt{-4 + 4} = \sqrt{0} = 0$.
• При $x = 0$:
  $y = \sqrt{0 + 4} = \sqrt{4} = 2$.
• При $x = 5$:
  $y = \sqrt{5 + 4} = \sqrt{9} = 3$.

Ответ: при $x = -4$ значение $y = 0$; при $x = 0$ значение $y = 2$; при $x = 5$ значение $y = 3$.

б) значения x, если y = 1; 0; 3;

Чтобы найти значения аргумента $x$ по заданным значениям функции $y$, мы подставляем значения $y$ в уравнение $y = \sqrt{x+4}$ и решаем его относительно $x$. Это эквивалентно нахождению на графике точек с заданными ординатами и определению их абсцисс.

• При $y = 1$:
  $1 = \sqrt{x+4}$
  Возводим обе части уравнения в квадрат:
  $1^2 = (\sqrt{x+4})^2$
  $1 = x+4$
  $x = 1 - 4 = -3$.
• При $y = 0$:
  $0 = \sqrt{x+4}$
  Возводим обе части в квадрат:
  $0^2 = (\sqrt{x+4})^2$
  $0 = x+4$
  $x = -4$.
• При $y = 3$:
  $3 = \sqrt{x+4}$
  Возводим обе части в квадрат:
  $3^2 = (\sqrt{x+4})^2$
  $9 = x+4$
  $x = 9 - 4 = 5$.

Ответ: при $y = 1$ значение $x = -3$; при $y = 0$ значение $x = -4$; при $y = 3$ значение $x = 5$.

в) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-3; 0];

Функция $y = \sqrt{x+4}$ является возрастающей на всей своей области определения ($x \ge -4$), так как с увеличением $x$ значение подкоренного выражения $x+4$ увеличивается, а значит, увеличивается и значение корня. На графике это выглядит как линия, идущая вверх при движении слева направо.

Следовательно, на отрезке $[-3; 0]$ наименьшее значение функция принимает на левом конце отрезка (при наименьшем $x$), а наибольшее — на правом конце (при наибольшем $x$).

• Наименьшее значение функции на отрезке $[-3; 0]$ достигается при $x = -3$:
  $y_{наим} = \sqrt{-3 + 4} = \sqrt{1} = 1$.
• Наибольшее значение функции на отрезке $[-3; 0]$ достигается при $x = 0$:
  $y_{наиб} = \sqrt{0 + 4} = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[-3; 0]$ равно 1, наибольшее значение равно 2.

г) значения аргумента, удовлетворяющие условию 0 < y < 3.

Нам нужно найти все значения $x$, для которых ордината графика $y$ находится в интервале от 0 до 3. Для этого решим двойное неравенство:

$0 < y < 3$

Подставим выражение для $y$:

$0 < \sqrt{x+4} < 3$

Так как все части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, при этом знаки неравенства сохранятся:

$0^2 < (\sqrt{x+4})^2 < 3^2$

$0 < x+4 < 9$

Теперь решим это двойное неравенство относительно $x$, вычтя 4 из всех его частей:

$0 - 4 < x + 4 - 4 < 9 - 4$

$-4 < x < 5$

Таким образом, условию удовлетворяют все значения аргумента из интервала $(-4; 5)$.

Ответ: $x \in (-4; 5)$.