Номер 21.19, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 21. Как построить график функции у = f(х+l), если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 21.19, страница 123.

Условие.

21.19 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = \sqrt{x + 4}$:

а) на отрезке $[-3; 0]$;

б) на луче $[5; +\infty)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) на отрезке [-3; 0]

Дана функция $y = \sqrt{x + 4}$. Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке, сначала исследуем её поведение (монотонность).

1. Область определения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x + 4 \geq 0$, откуда $x \geq -4$. Область определения функции: $D(y) = [-4; +\infty)$. Заданный отрезок $[-3; 0]$ полностью входит в область определения.

2. Монотонность. Найдем производную функции, чтобы определить интервалы возрастания и убывания.
$y' = (\sqrt{x + 4})' = \frac{1}{2\sqrt{x + 4}} \cdot (x+4)' = \frac{1}{2\sqrt{x + 4}}$.

Поскольку квадратный корень в знаменателе всегда положителен для любого $x$ из интервала $(-4; +\infty)$, производная $y'$ всегда положительна ($y' > 0$). Это означает, что функция $y = \sqrt{x + 4}$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения.

3. Нахождение наименьшего и наибольшего значений. Так как функция монотонно возрастает на отрезке $[-3; 0]$, своё наименьшее значение она принимает в левой точке отрезка ($x = -3$), а наибольшее — в правой ($x = 0$).

Вычислим значения функции в этих точках:
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-3) = \sqrt{-3 + 4} = \sqrt{1} = 1$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(0) = \sqrt{0 + 4} = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке [-3; 0] равно 1, наибольшее значение равно 2.

б) на луче [5; +∞)

1. Монотонность. Как мы уже установили, функция $y = \sqrt{x + 4}$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения, а значит, и на луче $[5; +\infty)$.

2. Нахождение наименьшего значения. Поскольку функция возрастает, своё наименьшее значение на луче $[5; +\infty)$ она принимает в его начальной точке, то есть при $x = 5$.
$y_{наим} = y(5) = \sqrt{5 + 4} = \sqrt{9} = 3$.

3. Нахождение наибольшего значения. Так как функция монотонно возрастает на бесконечном промежутке, её значения не ограничены сверху. При $x \to +\infty$, значение $y = \sqrt{x + 4}$ также стремится к $+\infty$.
$\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x+4} = +\infty$.
Следовательно, на луче $[5; +\infty)$ функция не достигает своего наибольшего значения.

Ответ: наименьшее значение функции на луче [5; +∞) равно 3, наибольшего значения не существует.