Номер 21.23, страница 124, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 21. Как построить график функции у = f(х+l), если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 21.23, страница 124.

Условие.

21.23 Постройте график функции $y = -\frac{1}{4}(x + 2)^2$.

а) Найдите значения $y$ при $x = -2; 0; 2.$

б) Найдите значения $x$, если $y = 0; -1; -4.$

в) Укажите промежутки возрастания и убывания функции.

г) Напишите уравнение оси симметрии параболы.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для построения графика функции $y = -\frac{1}{4}(x+2)^2$ определим его основные характеристики.
Это квадратичная функция, ее график — парабола. Уравнение представлено в виде $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, где $(x_0, y_0)$ — координаты вершины.
В нашем случае, $a = -\frac{1}{4}$, $x_0 = -2$, $y_0 = 0$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-2, 0)$.
Поскольку коэффициент $a = -\frac{1}{4} < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Ось симметрии параболы — прямая $x = -2$.
Найдем несколько контрольных точек для построения. Выберем значения $x$ симметрично относительно оси $x=-2$.
При $x=0$: $y = -\frac{1}{4}(0+2)^2 = -1$. Точка $(0, -1)$.
Симметричная ей точка относительно оси $x=-2$ будет иметь абсциссу $-4$. При $x=-4$: $y = -\frac{1}{4}(-4+2)^2 = -1$. Точка $(-4, -1)$.
При $x=2$: $y = -\frac{1}{4}(2+2)^2 = -\frac{1}{4}(16) = -4$. Точка $(2, -4)$.
Симметричная ей точка будет иметь абсциссу $-6$. При $x=-6$: $y = -\frac{1}{4}(-6+2)^2 = -\frac{1}{4}(16) = -4$. Точка $(-6, -4)$.
Построение графика: на координатной плоскости отмечаем вершину $(-2, 0)$ и найденные точки $(0, -1)$, $(-4, -1)$, $(2, -4)$, $(-6, -4)$ и соединяем их плавной кривой, направленной ветвями вниз.

а) Найдите значения у при x = -2; 0; 2.

Подставим заданные значения $x$ в уравнение функции $y = -\frac{1}{4}(x+2)^2$:
При $x = -2$: $y = -\frac{1}{4}(-2+2)^2 = -\frac{1}{4}(0)^2 = 0$.
При $x = 0$: $y = -\frac{1}{4}(0+2)^2 = -\frac{1}{4}(2)^2 = -\frac{1}{4} \cdot 4 = -1$.
При $x = 2$: $y = -\frac{1}{4}(2+2)^2 = -\frac{1}{4}(4)^2 = -\frac{1}{4} \cdot 16 = -4$.
Ответ: при $x=-2$ значение $y=0$; при $x=0$ значение $y=-1$; при $x=2$ значение $y=-4$.

б) Найдите значения x, если y = 0; -1; -4.

Подставим заданные значения $y$ в уравнение функции и решим относительно $x$:
Если $y=0$:
$0 = -\frac{1}{4}(x+2)^2$
$(x+2)^2 = 0$
$x+2 = 0$
$x = -2$.

Если $y=-1$:
$-1 = -\frac{1}{4}(x+2)^2$
$4 = (x+2)^2$
$x+2 = \pm\sqrt{4}$
$x+2 = 2$ или $x+2 = -2$
$x = 0$ или $x = -4$.

Если $y=-4$:
$-4 = -\frac{1}{4}(x+2)^2$
$16 = (x+2)^2$
$x+2 = \pm\sqrt{16}$
$x+2 = 4$ или $x+2 = -4$
$x = 2$ или $x = -6$.
Ответ: при $y=0$ значение $x=-2$; при $y=-1$ значения $x=0$ и $x=-4$; при $y=-4$ значения $x=2$ и $x=-6$.

в) Укажите промежутки возрастания и убывания функции.

Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x = -2$. Так как ветви параболы направлены вниз ($a < 0$), функция возрастает на промежутке до вершины и убывает на промежутке после вершины.
Промежуток возрастания: $(-\infty; -2]$.
Промежуток убывания: $[-2; +\infty)$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; -2]$ и убывает на промежутке $[-2; +\infty)$.

г) Напишите уравнение оси симметрии параболы.

Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через ее вершину. Координаты вершины $(-2, 0)$.
Следовательно, уравнение оси симметрии имеет вид $x = -2$.
Ответ: $x = -2$.