Номер 21.29, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 21. Как построить график функции у = f(х+l), если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 21.29, страница 125.

Условие.

Решите графически уравнение:

21.29 a) $(x - 2)^2 = x;$

б) $(x + 3)^2 = 1;$

в) $(x - 2)^2 = -x;$

г) $(x + 5)^2 = 4.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $(x - 2)^2 = x$

Для графического решения уравнения представим его как равенство двух функций. Корнями уравнения будут абсциссы (координаты $x$) точек пересечения графиков этих функций.

Построим в одной системе координат графики двух функций:

1. $y = (x - 2)^2$
2. $y = x$

График функции $y = (x - 2)^2$ — это парабола, полученная из графика $y = x^2$ сдвигом на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс. Вершина параболы находится в точке $(2, 0)$, ветви направлены вверх. Построим её по точкам:
При $x = 1$, $y = (1-2)^2 = 1$.
При $x = 2$, $y = (2-2)^2 = 0$.
При $x = 3$, $y = (3-2)^2 = 1$.
При $x = 4$, $y = (4-2)^2 = 4$.

График функции $y = x$ — это прямая линия, являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов. Она проходит через начало координат под углом $45^\circ$ к оси абсцисс.

Совместив графики на одной плоскости, мы увидим, что они пересекаются в двух точках. Определим их координаты. Из построенных точек видно, что это точки $(1, 1)$ и $(4, 4)$. Абсциссы этих точек: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Ответ: $1; 4$.

б) $(x + 3)^2 = 1$

Для графического решения уравнения построим в одной системе координат графики двух функций:

1. $y = (x + 3)^2$
2. $y = 1$

График функции $y = (x + 3)^2$ — это парабола, полученная из графика $y = x^2$ сдвигом на 3 единицы влево вдоль оси абсцисс. Вершина параболы находится в точке $(-3, 0)$, ветви направлены вверх.

График функции $y = 1$ — это прямая линия, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку $(0, 1)$ на оси ординат.

Построим графики. Парабола с вершиной в $(-3, 0)$ пересекает горизонтальную прямую $y = 1$ в двух точках. Чтобы найти абсциссы этих точек, найдем, при каких значениях $x$ функция $y = (x + 3)^2$ принимает значение 1.
При $x = -2$, $y = (-2+3)^2 = 1^2 = 1$.
При $x = -4$, $y = (-4+3)^2 = (-1)^2 = 1$.
Таким образом, точки пересечения графиков — это $(-4, 1)$ и $(-2, 1)$. Абсциссы этих точек: $x_1 = -4$ и $x_2 = -2$.

Ответ: $-4; -2$.

в) $(x - 2)^2 = -x$

Для графического решения уравнения построим в одной системе координат графики двух функций:

1. $y = (x - 2)^2$
2. $y = -x$

График функции $y = (x - 2)^2$ — это парабола с вершиной в точке $(2, 0)$, ветви которой направлены вверх. Все значения этой функции неотрицательны, то есть $y \ge 0$.

График функции $y = -x$ — это прямая линия, являющаяся биссектрисой второго и четвертого координатных углов.

Построим графики. Парабола $y=(x-2)^2$ расположена в I и II координатных четвертях, касаясь оси Ох в точке $(2, 0)$. Прямая $y=-x$ проходит через I и III четверти. Для того чтобы графики пересеклись, должно выполняться условие $(x - 2)^2 = -x$. Левая часть уравнения $(x-2)^2$ всегда неотрицательна. Следовательно, и правая часть должна быть неотрицательной: $-x \ge 0$, что означает $x \le 0$.
Рассмотрим, как ведут себя функции при $x \le 0$.
При $x=0$, $y=(0-2)^2=4$, а $y=-0=0$. График параболы выше.
При $x=-1$, $y=(-1-2)^2=9$, а $y=-(-1)=1$. График параболы выше.
При движении влево по оси $x$ ($x \to -\infty$), значения параболы $y=(x-2)^2$ растут быстрее, чем значения прямой $y=-x$. Таким образом, графики функций не пересекаются.

Поскольку точки пересечения отсутствуют, у уравнения нет действительных корней.

Ответ: корней нет.

г) $(x + 5)^2 = 4$

Для графического решения уравнения построим в одной системе координат графики двух функций:

1. $y = (x + 5)^2$
2. $y = 4$

График функции $y = (x + 5)^2$ — это парабола, полученная из графика $y = x^2$ сдвигом на 5 единиц влево вдоль оси абсцисс. Вершина параболы находится в точке $(-5, 0)$, ветви направлены вверх.

График функции $y = 4$ — это прямая линия, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку $(0, 4)$ на оси ординат.

Построим графики. Парабола с вершиной в $(-5, 0)$ пересекает горизонтальную прямую $y = 4$ в двух точках. Найдем абсциссы этих точек пересечения. Для этого решим уравнение $(x+5)^2=4$ относительно $x$.
$x+5 = 2$ или $x+5 = -2$.
Из первого уравнения получаем $x = 2-5 = -3$.
Из второго уравнения получаем $x = -2-5 = -7$.
Следовательно, точки пересечения графиков имеют координаты $(-7, 4)$ и $(-3, 4)$. Абсциссы этих точек: $x_1 = -7$ и $x_2 = -3$.

Ответ: $-7; -3$.