Номер 21.31, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 21. Как построить график функции у = f(х+l), если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 21.31, страница 125.

Условие.

21.31 a) $\frac{2}{x+3} = 2;$

б) $\frac{2}{x+1} = x;$

в) $\frac{3}{x-2} = 1;$

г) $\frac{3}{x-3} = 1-x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Дано уравнение $\frac{2}{x+3} = 2$. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $x+3 \neq 0$, откуда $x \neq -3$. Чтобы решить уравнение, умножим обе его части на знаменатель $(x+3)$: $2 = 2(x+3)$. Раскроем скобки в правой части: $2 = 2x + 6$. Перенесем 6 в левую часть с противоположным знаком: $2 - 6 = 2x$, что дает $-4 = 2x$. Для нахождения $x$ разделим обе части на 2: $x = -2$. Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Так как $-2 \neq -3$, корень является решением уравнения.
Ответ: -2

б) Дано уравнение $\frac{2}{x+1} = x$. ОДЗ: $x+1 \neq 0$, следовательно, $x \neq -1$. Умножим обе части уравнения на $(x+1)$: $2 = x(x+1)$. Раскроем скобки: $2 = x^2 + x$. Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $x^2 + x - 2 = 0$. Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае $a=1, b=1, c=-2$. $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$. Вычисляем корни: $x_1 = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$ и $x_2 = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$. Оба корня, $1$ и $-2$, удовлетворяют ОДЗ, так как они не равны $-1$.
Ответ: -2; 1

в) Дано уравнение $\frac{3}{x-2} = 1$. ОДЗ: знаменатель $x-2$ не должен быть равен нулю, то есть $x \neq 2$. Умножим обе части уравнения на $(x-2)$: $3 = 1 \cdot (x-2)$, что упрощается до $3 = x - 2$. Чтобы найти $x$, перенесем $-2$ в левую часть с противоположным знаком: $3 + 2 = x$. Таким образом, $x = 5$. Проверим корень: $5 \neq 2$, следовательно, корень удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 5

г) Дано уравнение $\frac{3}{x-3} = 1-x$. ОДЗ: $x-3 \neq 0$, следовательно, $x \neq 3$. Умножим обе части на $(x-3)$: $3 = (1-x)(x-3)$. Раскроем скобки в правой части, перемножив двучлены: $3 = 1 \cdot x + 1 \cdot (-3) - x \cdot x - x \cdot (-3) = x - 3 - x^2 + 3x$. Приведем подобные слагаемые: $3 = -x^2 + 4x - 3$. Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение в стандартном виде: $x^2 - 4x + 3 + 3 = 0$, то есть $x^2 - 4x + 6 = 0$. Для решения найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 16 - 24 = -8$. Поскольку дискриминант $D = -8$ является отрицательным числом, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: корней нет