Номер 21.24, страница 124, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 21. Как построить график функции у = f(х+l), если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 21.24, страница 124.

Условие.

21.24 Постройте график функции $y = \frac{3}{x+1}$.

а) Найдите значения $y$ при $x = -2; 0; 2$.

б) Найдите значения $x$, если $y = 6; -1; -6$.

в) Исследуйте функцию на монотонность.

г) Напишите уравнения асимптот данной гиперболы.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Заданная функция $y = \frac{3}{x+1}$ является обратной пропорциональностью, ее график — гипербола. Этот график можно получить из графика базовой функции $y = \frac{3}{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс (Ox).

Сначала построим график. Для этого определим его основные характеристики и найдем координаты нескольких точек.

• Область определения функции: Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x+1 \neq 0$, что означает $x \neq -1$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.
• Асимптоты: Вертикальная асимптота — прямая $x = -1$. Горизонтальная асимптота — прямая $y = 0$ (ось Ox), так как при $x \to \pm\infty$ значение дроби стремится к нулю.
• Расположение ветвей: Так как коэффициент $k=3 > 0$, ветви гиперболы находятся в I и III координатных четвертях относительно "нового" центра, образованного асимптотами.

Составим таблицу значений для более точного построения графика:

$x$	-4	-2.5	-2	-1.5	-0.5	0	1	2
$y = \frac{3}{x+1}$	-1	-2	-3	-6	6	3	1.5	1

На координатной плоскости сначала строим асимптоты $x = -1$ и $y = 0$. Затем отмечаем точки из таблицы и плавно соединяем их, получая две ветви гиперболы.

а) Найдем значения $y$ при $x = -2; 0; 2$. Для этого подставим значения $x$ в формулу функции.

Если $x = -2$, то $y = \frac{3}{-2+1} = \frac{3}{-1} = -3$.

Если $x = 0$, то $y = \frac{3}{0+1} = \frac{3}{1} = 3$.

Если $x = 2$, то $y = \frac{3}{2+1} = \frac{3}{3} = 1$.

Ответ: при $x = -2, y = -3$; при $x = 0, y = 3$; при $x = 2, y = 1$.

б) Найдем значения $x$, если $y = 6; -1; -6$. Для этого подставим значения $y$ в формулу и решим уравнение относительно $x$.

Из $y = \frac{3}{x+1}$ следует, что $x+1 = \frac{3}{y}$, а значит $x = \frac{3}{y} - 1$.

Если $y = 6$, то $x = \frac{3}{6} - 1 = 0.5 - 1 = -0.5$.

Если $y = -1$, то $x = \frac{3}{-1} - 1 = -3 - 1 = -4$.

Если $y = -6$, то $x = \frac{3}{-6} - 1 = -0.5 - 1 = -1.5$.

Ответ: если $y = 6, x = -0.5$; если $y = -1, x = -4$; если $y = -6, x = -1.5$.

в) Исследуем функцию на монотонность.

Функция вида $y = \frac{k}{x-x_0} + y_0$ при $k>0$ является убывающей на всей своей области определения. В нашем случае $y = \frac{3}{x+1}$, где $k = 3 > 0$.

Область определения функции состоит из двух промежутков: $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$. На каждом из этих промежутков функция убывает (при увеличении $x$ значение $y$ уменьшается).

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$.

г) Напишем уравнения асимптот данной гиперболы.

Вертикальная асимптота — это прямая, параллельная оси Oy, уравнение которой находится из условия, что знаменатель функции равен нулю. $x + 1 = 0 \implies x = -1$.

Горизонтальная асимптота — это прямая, параллельная оси Ox, к которой стремится график функции при $x \to \pm\infty$. Для функции $y = \frac{k}{x-x_0} + y_0$ ее уравнение $y=y_0$. В нашем случае $y = \frac{3}{x+1} + 0$, поэтому горизонтальная асимптота — $y = 0$.

Ответ: вертикальная асимптота: $x = -1$; горизонтальная асимптота: $y = 0$.