Номер 21.21, страница 124, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 21. Как построить график функции у = f(х+l), если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 21.21, страница 124.

Условие.

21.21 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = |x + 2|$:

а) на отрезке $[-2; 0];

б) на луче $[-3; +\infty);

в) на луче $(-\infty; 3];

г) на отрезке $[1; 4].

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) на отрезке [-2; 0];

Функция $y = |x + 2|$ достигает своего глобального минимума в точке, где выражение под модулем равно нулю, то есть при $x = -2$. Значение функции в этой точке $y(-2) = |-2 + 2| = 0$. На промежутке $[-2, +\infty)$ функция возрастает, так как при раскрытии модуля ($x+2 \ge 0$) мы получаем $y = x+2$. Поскольку отрезок $[-2; 0]$ полностью входит в промежуток возрастания, наименьшее значение функции будет на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-2) = |-2 + 2| = 0$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(0) = |0 + 2| = 2$.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 2.

б) на луче [-3; +∞);

Рассматриваемый луч $[-3; +\infty)$ включает в себя точку минимума функции $x = -2$. Следовательно, наименьшее значение функции на этом луче равно её глобальному минимуму.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-2) = |-2 + 2| = 0$.

На промежутке $[-2; +\infty)$, который является частью данного луча, функция $y = x+2$ неограниченно возрастает. При $x \to +\infty$, $y \to +\infty$. Таким образом, наибольшего значения на луче $[-3; +\infty)$ не существует.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшего значения не существует.

в) на луче (-∞; 3];

Рассматриваемый луч $(-\infty; 3]$ также включает в себя точку минимума функции $x = -2$. Значит, наименьшее значение функции на этом луче также равно её глобальному минимуму.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-2) = |-2 + 2| = 0$.

На промежутке $(-\infty; -2]$ функция убывает и имеет вид $y = -(x+2) = -x - 2$. При $x \to -\infty$, значение $y \to +\infty$. Так как луч $(-\infty; 3]$ уходит в бесконечность по оси $x$, функция на нем не ограничена сверху. Следовательно, наибольшего значения на этом луче не существует.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшего значения не существует.

г) на отрезке [1; 4].

Отрезок $[1; 4]$ полностью расположен на промежутке возрастания функции ($x > -2$). На этом отрезке функция имеет вид $y = x+2$. Это линейная функция с положительным угловым коэффициентом, поэтому она возрастает на всем отрезке. Наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(1) = |1 + 2| = 3$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(4) = |4 + 2| = 6$.

Ответ: наименьшее значение 3, наибольшее значение 6.