Номер 21.17, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 21. Как построить график функции у = f(х+l), если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 21.17, страница 123.

Условие.

21.17 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = \frac{4}{x - 3}$:

а) на отрезке $ [4; 7] $;

б) на луче $ (-\infty; 1] $;

в) на луче $ [4; +\infty) $;

г) на полуинтервале $ (3; 7] $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = \frac{4}{x - 3}$ на заданных промежутках, сначала проанализируем саму функцию. Это дробно-рациональная функция, график которой — гипербола. Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=3$.

Найдем производную функции, чтобы определить интервалы монотонности: $y' = \left(\frac{4}{x - 3}\right)' = \left(4(x - 3)^{-1}\right)' = 4 \cdot (-1) \cdot (x-3)^{-2} = -\frac{4}{(x-3)^2}$.

Поскольку $(x-3)^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, производная $y' < 0$. Это означает, что функция является убывающей на каждом из интервалов своей области определения: $(-\infty; 3)$ и $(3; +\infty)$.

а) на отрезке [4; 7]

Данный отрезок полностью принадлежит промежутку $(3; +\infty)$, на котором функция убывает. Для убывающей функции на отрезке $[a; b]$ наибольшее значение достигается в левой крайней точке ($x=a$), а наименьшее — в правой ($x=b$).

Наибольшее значение функции на отрезке $[4; 7]$ будет при $x=4$: $y_{наиб} = y(4) = \frac{4}{4 - 3} = \frac{4}{1} = 4$.

Наименьшее значение функции на отрезке $[4; 7]$ будет при $x=7$: $y_{наим} = y(7) = \frac{4}{7 - 3} = \frac{4}{4} = 1$.

Ответ: наименьшее значение равно 1, наибольшее значение равно 4.

б) на луче (−∞; 1]

Данный луч полностью принадлежит промежутку $(-\infty; 3)$, на котором функция убывает. На убывающей функции меньшее значение соответствует большему значению аргумента. Правая граница луча — точка $x=1$, поэтому в этой точке функция достигнет своего наименьшего значения на данном промежутке.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(1) = \frac{4}{1 - 3} = \frac{4}{-2} = -2$.

Левая граница луча уходит в $-\infty$. Рассмотрим предел функции при $x \to -\infty$: $\lim_{x \to -\infty} \frac{4}{x - 3} = 0$. Функция стремится к 0, но никогда его не достигает (на данном промежутке $x-3 < 0$, поэтому $y < 0$). Следовательно, у функции на этом луче нет наибольшего значения.

Ответ: наименьшее значение равно -2, наибольшего значения не существует.

в) на луче [4; +∞)

Данный луч полностью принадлежит промежутку $(3; +\infty)$, на котором функция убывает. На убывающей функции большее значение соответствует меньшему значению аргумента. Левая граница луча — точка $x=4$, поэтому в этой точке функция достигнет своего наибольшего значения на данном промежутке.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(4) = \frac{4}{4 - 3} = 4$.

Правая граница луча уходит в $+\infty$. Рассмотрим предел функции при $x \to +\infty$: $\lim_{x \to +\infty} \frac{4}{x - 3} = 0$. Функция стремится к 0, но никогда его не достигает (на данном промежутке $x-3 > 0$, поэтому $y > 0$). Следовательно, у функции на этом луче нет наименьшего значения.

Ответ: наибольшее значение равно 4, наименьшего значения не существует.

г) на полуинтервале (3; 7]

Данный полуинтервал принадлежит промежутку $(3; +\infty)$, на котором функция убывает. Наименьшее значение будет достигаться в правой крайней точке $x=7$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(7) = \frac{4}{7 - 3} = \frac{4}{4} = 1$.

Левая граница интервала — точка $x=3$, которая не включена в интервал. Рассмотрим предел функции при $x$, стремящемся к 3 справа ($x \to 3^+$): $\lim_{x \to 3^+} \frac{4}{x - 3} = +\infty$, так как знаменатель $x-3$ стремится к нулю, оставаясь положительным. Поскольку функция не ограничена сверху на данном полуинтервале, наибольшего значения у нее не существует.

Ответ: наименьшее значение равно 1, наибольшего значения не существует.