Номер 21.10, страница 120, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 21. Как построить график функции у = f(х+l), если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 21.10, страница 120.

Условие.

21.10 а) $y = |x + 3|;$

б) $y = -|x - 4|;$

в) $y = |x - 2|;$

г) $y = -|x + 1|.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $y = |x + 3|$

Чтобы построить график функции $y = |x + 3|$, мы раскроем модуль. Определение модуля: $|a| = a$, если $a \ge 0$, и $|a| = -a$, если $a < 0$.

Рассмотрим два случая для выражения, стоящего под знаком модуля, то есть для $x + 3$:

1. Если $x + 3 \ge 0$, что эквивалентно $x \ge -3$, то $|x + 3| = x + 3$. В этом случае функция принимает вид $y = x + 3$. Это уравнение прямой с угловым коэффициентом 1.

2. Если $x + 3 < 0$, что эквивалентно $x < -3$, то $|x + 3| = -(x + 3) = -x - 3$. В этом случае функция принимает вид $y = -x - 3$. Это уравнение прямой с угловым коэффициентом -1.

Таким образом, мы можем записать функцию в виде кусочно-линейной функции: $y = \begin{cases} x + 3, & \text{если } x \ge -3 \\ -x - 3, & \text{если } x < -3 \end{cases}$

График данной функции состоит из двух лучей, которые выходят из одной точки — вершины. Вершина находится в точке, где выражение под модулем равно нулю. Найдем координаты вершины: $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$. Подставив это значение в функцию, получим $y = |-3 + 3| = |0| = 0$. Следовательно, вершина графика находится в точке $(-3, 0)$.

Для построения графика найдем по одной дополнительной точке на каждом луче. На луче $y = x + 3$ (при $x \ge -3$) выберем точку, например, $x = 0$. Тогда $y = 0 + 3 = 3$. Получаем точку $(0, 3)$. На луче $y = -x - 3$ (при $x < -3$) выберем точку, например, $x = -4$. Тогда $y = -(-4) - 3 = 4 - 3 = 1$. Получаем точку $(-4, 1)$.

График представляет собой V-образную кривую ("галочку"), с вершиной в точке $(-3, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Этот график также можно получить путем сдвига графика функции $y = |x|$ на 3 единицы влево вдоль оси Ox.

Ответ: График функции $y = |x + 3|$ — это график $y = |x|$, смещенный на 3 единицы влево вдоль оси абсцисс. Вершина графика находится в точке $(-3, 0)$, ветви направлены вверх.

б) $y = -|x - 4|$

Для построения графика функции $y = -|x - 4|$ сначала рассмотрим выражение под модулем $x - 4$, а затем учтем знак "минус" перед модулем.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. Если $x - 4 \ge 0$, то есть $x \ge 4$, то $|x - 4| = x - 4$. Функция принимает вид $y = -(x - 4) = -x + 4$.

2. Если $x - 4 < 0$, то есть $x < 4$, то $|x - 4| = -(x - 4) = -x + 4$. Функция принимает вид $y = -(-(x - 4)) = x - 4$.

Таким образом, кусочно-линейная функция имеет вид: $y = \begin{cases} -x + 4, & \text{если } x \ge 4 \\ x - 4, & \text{если } x < 4 \end{cases}$

Найдем вершину графика, где подмодульное выражение равно нулю: $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$. Координата $y$ в этой точке: $y = -|4 - 4| = -|0| = 0$. Вершина графика находится в точке $(4, 0)$.

Знак "минус" перед модулем означает, что график будет отражен относительно оси Ox по сравнению с графиком $y = |x - 4|$. Следовательно, ветви графика будут направлены вниз.

Найдем дополнительные точки для построения лучей: Для $y = -x + 4$ (при $x \ge 4$) возьмем $x = 5$. Тогда $y = -5 + 4 = -1$. Точка $(5, -1)$. Для $y = x - 4$ (при $x < 4$) возьмем $x = 2$. Тогда $y = 2 - 4 = -2$. Точка $(2, -2)$.

График представляет собой перевернутую V-образную кривую с вершиной в точке $(4, 0)$ и ветвями, направленными вниз. Его можно получить, сдвинув график $y = |x|$ на 4 единицы вправо, а затем отразив его симметрично относительно оси Ox.

Ответ: График функции $y = -|x - 4|$ — это график $y = |x|$, смещенный на 4 единицы вправо вдоль оси абсцисс и отраженный относительно оси абсцисс. Вершина графика находится в точке $(4, 0)$, ветви направлены вниз.

в) $y = |x - 2|$

Построение графика функции $y = |x - 2|$ аналогично пункту а). Раскроем модуль, исходя из знака выражения $x - 2$.

1. Если $x - 2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$, то $|x - 2| = x - 2$. Функция: $y = x - 2$.

2. Если $x - 2 < 0$, то есть $x < 2$, то $|x - 2| = -(x - 2) = -x + 2$. Функция: $y = -x + 2$.

Функция в кусочно-линейном виде: $y = \begin{cases} x - 2, & \text{если } x \ge 2 \\ -x + 2, & \text{если } x < 2 \end{cases}$

Вершина графика находится в точке, где $x - 2 = 0$, то есть $x = 2$. Координата $y$ вершины: $y = |2 - 2| = 0$. Вершина — точка $(2, 0)$.

Найдем дополнительные точки: При $x \ge 2$: возьмем $x = 4$. Тогда $y = 4 - 2 = 2$. Точка $(4, 2)$. При $x < 2$: возьмем $x = 0$. Тогда $y = -0 + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$.

График — V-образная кривая с вершиной в $(2, 0)$ и ветвями вверх. Он получается сдвигом графика $y = |x|$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.

Ответ: График функции $y = |x - 2|$ — это график $y = |x|$, смещенный на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс. Вершина графика находится в точке $(2, 0)$, ветви направлены вверх.

г) $y = -|x + 1|$

Построение графика функции $y = -|x + 1|$ аналогично пункту б). Раскроем модуль выражения $x + 1$ и учтем знак "минус" перед ним.

1. Если $x + 1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$, то $|x + 1| = x + 1$. Функция: $y = -(x + 1) = -x - 1$.

2. Если $x + 1 < 0$, то есть $x < -1$, то $|x + 1| = -(x + 1)$. Функция: $y = -(-(x + 1)) = x + 1$.

Кусочно-линейная запись функции: $y = \begin{cases} -x - 1, & \text{если } x \ge -1 \\ x + 1, & \text{если } x < -1 \end{cases}$

Вершина графика находится в точке, где $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$. Координата $y$ вершины: $y = -|-1 + 1| = 0$. Вершина — точка $(-1, 0)$.

Ветви графика направлены вниз из-за знака "минус" перед модулем. Найдем дополнительные точки: При $x \ge -1$: возьмем $x = 0$. Тогда $y = -0 - 1 = -1$. Точка $(0, -1)$. При $x < -1$: возьмем $x = -3$. Тогда $y = -3 + 1 = -2$. Точка $(-3, -2)$.

График представляет собой перевернутую V-образную кривую. Его можно получить, сдвинув график $y = |x|$ на 1 единицу влево, а затем отразив его симметрично относительно оси Ox.

Ответ: График функции $y = -|x + 1|$ — это график $y = |x|$, смещенный на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс и отраженный относительно оси абсцисс. Вершина графика находится в точке $(-1, 0)$, ветви направлены вниз.