Номер 21.9, страница 120, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 21. Как построить график функции у = f(х+l), если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 21.9, страница 120.

Условие.

21.9 a) $y = \sqrt{x - 3}$;

б) $y = -\sqrt{x + 4}$;

в) $y = \sqrt{x - 1}$;

г) $y = -\sqrt{x - 2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $y = \sqrt{x - 3}$

Для нахождения области определения и области значений функции проанализируем её вид.

1. Область определения функции (D(y)):
Выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным. Составим и решим неравенство:
$x - 3 \ge 0$
$x \ge 3$
Следовательно, область определения функции — это все значения $x$, большие или равные 3.
$D(y) = [3; +\infty)$.

2. Область значений функции (E(y)):
Арифметический квадратный корень по определению принимает только неотрицательные значения, то есть:
$\sqrt{x - 3} \ge 0$
Поскольку $y = \sqrt{x - 3}$, то $y \ge 0$.
Следовательно, область значений функции — это все неотрицательные числа.
$E(y) = [0; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = [3; +\infty)$, область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

б) $y = -\sqrt{x + 4}$

1. Область определения функции (D(y)):
Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$x + 4 \ge 0$
$x \ge -4$
Следовательно, область определения функции: $D(y) = [-4; +\infty)$.

2. Область значений функции (E(y)):
Значение арифметического квадратного корня всегда неотрицательно:
$\sqrt{x + 4} \ge 0$
При умножении обеих частей неравенства на -1, знак неравенства меняется на противоположный:
$-\sqrt{x + 4} \le 0$
Поскольку $y = -\sqrt{x + 4}$, то $y \le 0$.
Следовательно, область значений функции — это все неположительные числа.
$E(y) = (-\infty; 0]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [-4; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; 0]$.

в) $y = \sqrt{x} - 1$

1. Область определения функции (D(y)):
Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$x \ge 0$
Следовательно, область определения функции: $D(y) = [0; +\infty)$.

2. Область значений функции (E(y)):
Значение арифметического квадратного корня всегда неотрицательно:
$\sqrt{x} \ge 0$
Вычитая 1 из обеих частей неравенства, получаем:
$\sqrt{x} - 1 \ge -1$
Поскольку $y = \sqrt{x} - 1$, то $y \ge -1$.
Следовательно, область значений функции — это все числа, большие или равные -1.
$E(y) = [-1; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = [0; +\infty)$, область значений $E(y) = [-1; +\infty)$.

г) $y = -\sqrt{x} - 2$

1. Область определения функции (D(y)):
Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$x \ge 0$
Следовательно, область определения функции: $D(y) = [0; +\infty)$.

2. Область значений функции (E(y)):
Значение арифметического квадратного корня всегда неотрицательно:
$\sqrt{x} \ge 0$
Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак на противоположный:
$-\sqrt{x} \le 0$
Теперь вычтем 2 из обеих частей:
$-\sqrt{x} - 2 \le -2$
Поскольку $y = -\sqrt{x} - 2$, то $y \le -2$.
Следовательно, область значений функции — это все числа, меньшие или равные -2.
$E(y) = (-\infty; -2]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [0; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; -2]$.