Страница 120, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Постройте график функции и укажите, где она убывает, где воз-растает:

21.7 a) $y = 2(x + 1)^2$;

б) $y = -(x - 3)^2$;

в) $y = 3(x - 5)^2$;

г) $y = -4(x + 2)^2$.

а) $y = 2(x + 1)^2$

Графиком данной функции является парабола. Уравнение представлено в виде $y=a(x-x_0)^2+y_0$, где $a=2$, $x_0=-1$, $y_0=0$. Вершина параболы находится в точке с координатами $(-1, 0)$. Так как коэффициент $a=2>0$, ветви параболы направлены вверх. Ось симметрии — прямая $x=-1$.

Для построения графика можно использовать метод преобразования графиков: сдвинуть график параболы $y=x^2$ на 1 единицу влево по оси абсцисс, а затем растянуть его от оси Ox в 2 раза. Также можно построить график по точкам. Кроме вершины $(-1, 0)$, найдем еще несколько: при $x=0$, $y=2(0+1)^2=2$, точка $(0, 2)$; по симметрии точка $(-2, 2)$ также принадлежит графику; при $x=1$, $y=2(1+1)^2=8$, точка $(1, 8)$; по симметрии точка $(-3, 8)$ также принадлежит графику. Соединив точки плавной линией, получим искомый график.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция убывает на промежутке слева от вершины и возрастает на промежутке справа от нее. Следовательно, функция убывает при $x \in (-\infty; -1]$ и возрастает при $x \in [-1; \infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; -1]$, возрастает на промежутке $[-1; \infty)$.

б) $y = -(x - 3)^2$

Графиком функции является парабола. Уравнение представлено в виде $y=a(x-x_0)^2+y_0$, где $a=-1$, $x_0=3$, $y_0=0$. Вершина параболы находится в точке с координатами $(3, 0)$. Так как коэффициент $a=-1<0$, ветви параболы направлены вниз. Ось симметрии — прямая $x=3$.

Для построения графика сдвигаем параболу $y=x^2$ на 3 единицы вправо по оси Ox, а затем отражаем ее симметрично относительно оси Ox. Для построения по точкам используем вершину $(3, 0)$ и контрольные точки: при $x=4$, $y=-(4-3)^2=-1$, точка $(4, -1)$; симметричная ей точка $(2, -1)$; при $x=5$, $y=-(5-3)^2=-4$, точка $(5, -4)$; симметричная ей точка $(1, -4)$. Соединяем точки плавной кривой.

Поскольку ветви параболы направлены вниз, функция возрастает на промежутке слева от вершины и убывает на промежутке справа от нее. Следовательно, функция возрастает при $x \in (-\infty; 3]$ и убывает при $x \in [3; \infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 3]$, убывает на промежутке $[3; \infty)$.

в) $y = 3(x - 5)^2$

Графиком функции является парабола. Уравнение представлено в виде $y=a(x-x_0)^2+y_0$, где $a=3$, $x_0=5$, $y_0=0$. Вершина параболы находится в точке с координатами $(5, 0)$. Так как коэффициент $a=3>0$, ветви параболы направлены вверх. Ось симметрии — прямая $x=5$.

Для построения графика сдвигаем параболу $y=x^2$ на 5 единиц вправо по оси Ox, а затем растягиваем ее от оси Ox в 3 раза. Для построения по точкам используем вершину $(5, 0)$ и контрольные точки: при $x=6$, $y=3(6-5)^2=3$, точка $(6, 3)$; симметричная ей точка $(4, 3)$; при $x=7$, $y=3(7-5)^2=12$, точка $(7, 12)$; симметричная ей точка $(3, 12)$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция убывает на промежутке слева от вершины и возрастает на промежутке справа от нее. Таким образом, функция убывает при $x \in (-\infty; 5]$ и возрастает при $x \in [5; \infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 5]$, возрастает на промежутке $[5; \infty)$.

г) $y = -4(x + 2)^2$

Графиком функции является парабола. Уравнение представлено в виде $y=a(x-x_0)^2+y_0$, где $a=-4$, $x_0=-2$, $y_0=0$. Вершина параболы находится в точке с координатами $(-2, 0)$. Так как коэффициент $a=-4<0$, ветви параболы направлены вниз. Ось симметрии — прямая $x=-2$.

Для построения графика сдвигаем параболу $y=x^2$ на 2 единицы влево по оси Ox, растягиваем от оси Ox в 4 раза и отражаем симметрично относительно оси Ox. Для построения по точкам используем вершину $(-2, 0)$ и контрольные точки: при $x=-1$, $y=-4(-1+2)^2=-4$, точка $(-1, -4)$; симметричная ей точка $(-3, -4)$; при $x=0$, $y=-4(0+2)^2=-16$, точка $(0, -16)$; симметричная ей точка $(-4, -16)$.

Поскольку ветви параболы направлены вниз, функция возрастает на промежутке слева от вершины и убывает на промежутке справа от нее. Таким образом, функция возрастает при $x \in (-\infty; -2]$ и убывает при $x \in [-2; \infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; -2]$, убывает на промежутке $[-2; \infty)$.

21.8 a) $y = \frac{2}{x+5}$;

б) $y = -\frac{1}{x-2}$;

в) $y = \frac{3}{x-1}$;

г) $y = -\frac{4}{x+4}$.

а) Для функции $y = \frac{2}{x+5}$, область определения — это множество всех действительных чисел $x$, при которых знаменатель дроби не равен нулю, так как на ноль делить нельзя. Чтобы найти значение $x$, которое не входит в область определения, нужно приравнять знаменатель к нулю и решить полученное уравнение:

$x+5=0$

$x=-5$

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x=-5$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -5) \cup (-5; +\infty)$.

б) Для функции $y = -\frac{1}{x-2}$, область определения состоит из всех действительных чисел, для которых знаменатель не равен нулю. Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль:

$x-2=0$

$x=2$

Следовательно, функция не определена в точке $x=2$. Область определения функции — это все действительные числа, кроме $2$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

в) Для функции $y = \frac{3}{x-1}$, область определения — это множество всех действительных чисел $x$, при которых знаменатель не обращается в ноль. Найдем недопустимое значение $x$, решив уравнение:

$x-1=0$

$x=1$

Значит, область определения функции включает все действительные числа за исключением $x=1$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

г) Для функции $y = -\frac{4}{x+4}$, область определения — это множество всех действительных чисел, для которых знаменатель не равен нулю. Найдем значение $x$, которое нужно исключить из области определения, приравняв знаменатель к нулю:

$x+4=0$

$x=-4$

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x=-4$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$.

21.9 a) $y = \sqrt{x - 3}$;

б) $y = -\sqrt{x + 4}$;

в) $y = \sqrt{x - 1}$;

г) $y = -\sqrt{x - 2}$.

а) $y = \sqrt{x - 3}$

Для нахождения области определения и области значений функции проанализируем её вид.

1. Область определения функции (D(y)):
Выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным. Составим и решим неравенство:
$x - 3 \ge 0$
$x \ge 3$
Следовательно, область определения функции — это все значения $x$, большие или равные 3.
$D(y) = [3; +\infty)$.

2. Область значений функции (E(y)):
Арифметический квадратный корень по определению принимает только неотрицательные значения, то есть:
$\sqrt{x - 3} \ge 0$
Поскольку $y = \sqrt{x - 3}$, то $y \ge 0$.
Следовательно, область значений функции — это все неотрицательные числа.
$E(y) = [0; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = [3; +\infty)$, область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

б) $y = -\sqrt{x + 4}$

1. Область определения функции (D(y)):
Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$x + 4 \ge 0$
$x \ge -4$
Следовательно, область определения функции: $D(y) = [-4; +\infty)$.

2. Область значений функции (E(y)):
Значение арифметического квадратного корня всегда неотрицательно:
$\sqrt{x + 4} \ge 0$
При умножении обеих частей неравенства на -1, знак неравенства меняется на противоположный:
$-\sqrt{x + 4} \le 0$
Поскольку $y = -\sqrt{x + 4}$, то $y \le 0$.
Следовательно, область значений функции — это все неположительные числа.
$E(y) = (-\infty; 0]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [-4; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; 0]$.

в) $y = \sqrt{x} - 1$

1. Область определения функции (D(y)):
Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$x \ge 0$
Следовательно, область определения функции: $D(y) = [0; +\infty)$.

2. Область значений функции (E(y)):
Значение арифметического квадратного корня всегда неотрицательно:
$\sqrt{x} \ge 0$
Вычитая 1 из обеих частей неравенства, получаем:
$\sqrt{x} - 1 \ge -1$
Поскольку $y = \sqrt{x} - 1$, то $y \ge -1$.
Следовательно, область значений функции — это все числа, большие или равные -1.
$E(y) = [-1; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = [0; +\infty)$, область значений $E(y) = [-1; +\infty)$.

г) $y = -\sqrt{x} - 2$

1. Область определения функции (D(y)):
Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$x \ge 0$
Следовательно, область определения функции: $D(y) = [0; +\infty)$.

2. Область значений функции (E(y)):
Значение арифметического квадратного корня всегда неотрицательно:
$\sqrt{x} \ge 0$
Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак на противоположный:
$-\sqrt{x} \le 0$
Теперь вычтем 2 из обеих частей:
$-\sqrt{x} - 2 \le -2$
Поскольку $y = -\sqrt{x} - 2$, то $y \le -2$.
Следовательно, область значений функции — это все числа, меньшие или равные -2.
$E(y) = (-\infty; -2]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [0; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; -2]$.

21.10 а) $y = |x + 3|;$

б) $y = -|x - 4|;$

в) $y = |x - 2|;$

г) $y = -|x + 1|.$

а) $y = |x + 3|$

Чтобы построить график функции $y = |x + 3|$, мы раскроем модуль. Определение модуля: $|a| = a$, если $a \ge 0$, и $|a| = -a$, если $a < 0$.

Рассмотрим два случая для выражения, стоящего под знаком модуля, то есть для $x + 3$:

1. Если $x + 3 \ge 0$, что эквивалентно $x \ge -3$, то $|x + 3| = x + 3$. В этом случае функция принимает вид $y = x + 3$. Это уравнение прямой с угловым коэффициентом 1.

2. Если $x + 3 < 0$, что эквивалентно $x < -3$, то $|x + 3| = -(x + 3) = -x - 3$. В этом случае функция принимает вид $y = -x - 3$. Это уравнение прямой с угловым коэффициентом -1.

Таким образом, мы можем записать функцию в виде кусочно-линейной функции: $y = \begin{cases} x + 3, & \text{если } x \ge -3 \\ -x - 3, & \text{если } x < -3 \end{cases}$

График данной функции состоит из двух лучей, которые выходят из одной точки — вершины. Вершина находится в точке, где выражение под модулем равно нулю. Найдем координаты вершины: $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$. Подставив это значение в функцию, получим $y = |-3 + 3| = |0| = 0$. Следовательно, вершина графика находится в точке $(-3, 0)$.

Для построения графика найдем по одной дополнительной точке на каждом луче. На луче $y = x + 3$ (при $x \ge -3$) выберем точку, например, $x = 0$. Тогда $y = 0 + 3 = 3$. Получаем точку $(0, 3)$. На луче $y = -x - 3$ (при $x < -3$) выберем точку, например, $x = -4$. Тогда $y = -(-4) - 3 = 4 - 3 = 1$. Получаем точку $(-4, 1)$.

График представляет собой V-образную кривую ("галочку"), с вершиной в точке $(-3, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Этот график также можно получить путем сдвига графика функции $y = |x|$ на 3 единицы влево вдоль оси Ox.

Ответ: График функции $y = |x + 3|$ — это график $y = |x|$, смещенный на 3 единицы влево вдоль оси абсцисс. Вершина графика находится в точке $(-3, 0)$, ветви направлены вверх.

б) $y = -|x - 4|$

Для построения графика функции $y = -|x - 4|$ сначала рассмотрим выражение под модулем $x - 4$, а затем учтем знак "минус" перед модулем.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. Если $x - 4 \ge 0$, то есть $x \ge 4$, то $|x - 4| = x - 4$. Функция принимает вид $y = -(x - 4) = -x + 4$.

2. Если $x - 4 < 0$, то есть $x < 4$, то $|x - 4| = -(x - 4) = -x + 4$. Функция принимает вид $y = -(-(x - 4)) = x - 4$.

Таким образом, кусочно-линейная функция имеет вид: $y = \begin{cases} -x + 4, & \text{если } x \ge 4 \\ x - 4, & \text{если } x < 4 \end{cases}$

Найдем вершину графика, где подмодульное выражение равно нулю: $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$. Координата $y$ в этой точке: $y = -|4 - 4| = -|0| = 0$. Вершина графика находится в точке $(4, 0)$.

Знак "минус" перед модулем означает, что график будет отражен относительно оси Ox по сравнению с графиком $y = |x - 4|$. Следовательно, ветви графика будут направлены вниз.

Найдем дополнительные точки для построения лучей: Для $y = -x + 4$ (при $x \ge 4$) возьмем $x = 5$. Тогда $y = -5 + 4 = -1$. Точка $(5, -1)$. Для $y = x - 4$ (при $x < 4$) возьмем $x = 2$. Тогда $y = 2 - 4 = -2$. Точка $(2, -2)$.

График представляет собой перевернутую V-образную кривую с вершиной в точке $(4, 0)$ и ветвями, направленными вниз. Его можно получить, сдвинув график $y = |x|$ на 4 единицы вправо, а затем отразив его симметрично относительно оси Ox.

Ответ: График функции $y = -|x - 4|$ — это график $y = |x|$, смещенный на 4 единицы вправо вдоль оси абсцисс и отраженный относительно оси абсцисс. Вершина графика находится в точке $(4, 0)$, ветви направлены вниз.

в) $y = |x - 2|$

Построение графика функции $y = |x - 2|$ аналогично пункту а). Раскроем модуль, исходя из знака выражения $x - 2$.

1. Если $x - 2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$, то $|x - 2| = x - 2$. Функция: $y = x - 2$.

2. Если $x - 2 < 0$, то есть $x < 2$, то $|x - 2| = -(x - 2) = -x + 2$. Функция: $y = -x + 2$.

Функция в кусочно-линейном виде: $y = \begin{cases} x - 2, & \text{если } x \ge 2 \\ -x + 2, & \text{если } x < 2 \end{cases}$

Вершина графика находится в точке, где $x - 2 = 0$, то есть $x = 2$. Координата $y$ вершины: $y = |2 - 2| = 0$. Вершина — точка $(2, 0)$.

Найдем дополнительные точки: При $x \ge 2$: возьмем $x = 4$. Тогда $y = 4 - 2 = 2$. Точка $(4, 2)$. При $x < 2$: возьмем $x = 0$. Тогда $y = -0 + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$.

График — V-образная кривая с вершиной в $(2, 0)$ и ветвями вверх. Он получается сдвигом графика $y = |x|$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.

Ответ: График функции $y = |x - 2|$ — это график $y = |x|$, смещенный на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс. Вершина графика находится в точке $(2, 0)$, ветви направлены вверх.

г) $y = -|x + 1|$

Построение графика функции $y = -|x + 1|$ аналогично пункту б). Раскроем модуль выражения $x + 1$ и учтем знак "минус" перед ним.

1. Если $x + 1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$, то $|x + 1| = x + 1$. Функция: $y = -(x + 1) = -x - 1$.

2. Если $x + 1 < 0$, то есть $x < -1$, то $|x + 1| = -(x + 1)$. Функция: $y = -(-(x + 1)) = x + 1$.

Кусочно-линейная запись функции: $y = \begin{cases} -x - 1, & \text{если } x \ge -1 \\ x + 1, & \text{если } x < -1 \end{cases}$

Вершина графика находится в точке, где $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$. Координата $y$ вершины: $y = -|-1 + 1| = 0$. Вершина — точка $(-1, 0)$.

Ветви графика направлены вниз из-за знака "минус" перед модулем. Найдем дополнительные точки: При $x \ge -1$: возьмем $x = 0$. Тогда $y = -0 - 1 = -1$. Точка $(0, -1)$. При $x < -1$: возьмем $x = -3$. Тогда $y = -3 + 1 = -2$. Точка $(-3, -2)$.

График представляет собой перевернутую V-образную кривую. Его можно получить, сдвинув график $y = |x|$ на 1 единицу влево, а затем отразив его симметрично относительно оси Ox.

Ответ: График функции $y = -|x + 1|$ — это график $y = |x|$, смещенный на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс и отраженный относительно оси абсцисс. Вершина графика находится в точке $(-1, 0)$, ветви направлены вниз.

21.11 Напишите уравнение параболы $y = a(x + l)^2$, изображённой:

а) на рис. 25;

б) на рис. 26;

в) на рис. 27;

г) на рис. 28.

Рис. 25

Рис. 26

Рис. 27

Рис. 28

Общий вид уравнения параболы, представленного в задании, — $y = a(x + l)^2$. Вершина такой параболы находится в точке с координатами $(-l, 0)$. Чтобы найти уравнение для каждой из парабол, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ по графику. Так как $y_0 = 0$ для всех графиков, вершина имеет координаты $(-l, 0)$.
2. Найти значение $l$ из соотношения $x_0 = -l$.
3. Выбрать на графике любую другую точку с известными координатами $(x_1, y_1)$, через которую проходит парабола.
4. Подставить значения $l$, $x_1$ и $y_1$ в уравнение $y = a(x + l)^2$ и вычислить коэффициент $a$.
5. Записать итоговое уравнение параболы.

а) на рис. 25

Вершина параболы находится в точке $(2, 0)$.

Следовательно, $-l = 2$, откуда $l = -2$. Уравнение принимает вид $y = a(x - 2)^2$.

Парабола проходит через точку $(0, 4)$. Подставим эти координаты в уравнение, чтобы найти $a$:

$4 = a(0 - 2)^2$

$4 = a(-2)^2$

$4 = 4a$

$a = 1$

Таким образом, уравнение параболы: $y = (x - 2)^2$.

Ответ: $y = (x - 2)^2$.

б) на рис. 26

Вершина параболы находится в точке $(-1, 0)$. Ветви направлены вниз, значит, коэффициент $a$ будет отрицательным.

Следовательно, $-l = -1$, откуда $l = 1$. Уравнение принимает вид $y = a(x + 1)^2$.

Парабола проходит через точку $(0, -1)$. Подставим эти координаты в уравнение:

$-1 = a(0 + 1)^2$

$-1 = a(1)^2$

$a = -1$

Таким образом, уравнение параболы: $y = -(x + 1)^2$.

Ответ: $y = -(x + 1)^2$.

в) на рис. 27

Вершина параболы находится в точке $(-2, 0)$.

Следовательно, $-l = -2$, откуда $l = 2$. Уравнение принимает вид $y = a(x + 2)^2$.

Парабола проходит через точку $(0, 4)$. Подставим эти координаты в уравнение:

$4 = a(0 + 2)^2$

$4 = a(2)^2$

$4 = 4a$

$a = 1$

Таким образом, уравнение параболы: $y = (x + 2)^2$.

Ответ: $y = (x + 2)^2$.

г) на рис. 28

Вершина параболы находится в точке $(4, 0)$. Ветви направлены вниз, значит, коэффициент $a$ будет отрицательным.

Следовательно, $-l = 4$, откуда $l = -4$. Уравнение принимает вид $y = a(x - 4)^2$.

Парабола проходит через точку $(0, -8)$. Подставим эти координаты в уравнение:

$-8 = a(0 - 4)^2$

$-8 = a(-4)^2$

$-8 = 16a$

$a = \frac{-8}{16} = -\frac{1}{2}$

Таким образом, уравнение параболы: $y = -\frac{1}{2}(x - 4)^2$.

Ответ: $y = -\frac{1}{2}(x - 4)^2$.