Страница 114, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Расскажите, как построить график функции $y = f(x - 3)$, если на координатной плоскости $xOy$ задан график функции $y = f(x)$.

1.

Чтобы построить график функции $y = f(x - 3)$, имея известный график функции $y = f(x)$, необходимо выполнить геометрическое преобразование, а именно — параллельный перенос (сдвиг) графика вдоль оси абсцисс (оси Ox).

Рассмотрим связь между точками исходного и нового графиков. Пусть точка с координатами $(x_0, y_0)$ принадлежит графику функции $y = f(x)$. Это по определению означает, что выполняется равенство $y_0 = f(x_0)$.

Теперь мы хотим найти, какой точке $(x_1, y_1)$ на графике новой функции $y = f(x - 3)$ соответствует та же ордината $y_0$. То есть, мы ищем такую абсциссу $x_1$, что $y_1 = y_0$. Для новой функции это означает, что должно выполняться равенство $y_0 = f(x_1 - 3)$.

Поскольку мы имеем два выражения для $y_0$: $y_0 = f(x_0)$ $y_0 = f(x_1 - 3)$ то можем заключить, что значения аргумента функции $f$ должны быть равны: $x_0 = x_1 - 3$

Выразим из этого соотношения $x_1$: $x_1 = x_0 + 3$

Это означает, что для каждой точки $(x_0, y_0)$ на графике функции $y = f(x)$ найдется соответствующая точка на графике функции $y = f(x - 3)$ с координатами $(x_0 + 3, y_0)$. Ордината (высота) точки остается той же, а абсцисса увеличивается на 3. Геометрически это соответствует сдвигу точки на 3 единицы вправо.

Так как это рассуждение справедливо для любой точки исходного графика, то для построения всего графика функции $y = f(x - 3)$ необходимо весь график функции $y = f(x)$ сдвинуть на 3 единицы вправо вдоль оси Ox.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = f(x - 3)$, нужно график функции $y = f(x)$ сдвинуть на 3 единицы вправо вдоль оси Ox.

2. Расскажите, как построить график функции $y = f(x + 1)$, если на координатной плоскости $xOy$ задан график функции $y = f(x)$.

Для того чтобы построить график функции $y = f(x + 1)$, имея заданный график функции $y = f(x)$, необходимо выполнить преобразование, которое называется параллельным переносом (или сдвигом) графика вдоль оси абсцисс $Ox$.

Чтобы определить направление и величину сдвига, проанализируем связь между координатами точек исходного и нового графиков.

Пусть точка с координатами $(x_0, y_0)$ принадлежит графику функции $y = f(x)$. Это означает, что выполняется равенство $y_0 = f(x_0)$.

Мы хотим найти точку $(x_1, y_1)$ на графике функции $y = f(x + 1)$, у которой ордината $y_1$ будет равна $y_0$. Для этой точки должно выполняться равенство $y_1 = f(x_1 + 1)$.

Приравнивая ординаты ($y_1 = y_0$), получаем:$f(x_1 + 1) = f(x_0)$

Из этого равенства следует, что аргументы функции должны быть равны:$x_1 + 1 = x_0$

Выразим из этого уравнения $x_1$:$x_1 = x_0 - 1$

Таким образом, мы видим, что каждой точке $(x_0, y_0)$ на графике $y = f(x)$ соответствует точка $(x_0 - 1, y_0)$ на графике $y = f(x + 1)$. Это означает, что при той же ординате ($y$) абсцисса ($x$) каждой точки нового графика на 1 единицу меньше, чем у соответствующей точки исходного графика.

Следовательно, чтобы получить график функции $y = f(x + 1)$, нужно сдвинуть весь график функции $y = f(x)$ на 1 единицу влево вдоль оси $Ox$.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = f(x + 1)$, если задан график функции $y = f(x)$, необходимо выполнить параллельный перенос (сдвиг) графика функции $y = f(x)$ на 1 единицу влево вдоль оси $Ox$.

20.6 Постройте график функции $y = -\frac{3}{x}$. С помощью графика найдите:

а) значения $y$ при $x = -3$; $1$; $6$;

б) значения $x$, если $y = 3$; $-1$; $-6$;

в) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке $[-3; -1]$;

г) какому промежутку принадлежит переменная $x$, если $y \in \left[-3; -\frac{1}{2}\right]$.

Для построения графика функции $y = -\frac{3}{x}$ необходимо понять её свойства. Это обратная пропорциональность, график которой — гипербола. Поскольку коэффициент $k=-3$ отрицательный, ветви гиперболы располагаются во II и IV координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат $Ox$ и $Oy$.

Составим таблицу значений для построения графика:

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавными линиями, мы получим график гиперболы. Теперь, используя график (и вычисления для точности), ответим на вопросы.

а) значения y при x = -3; 1; 6;

Находим на графике точки с указанными абсциссами и определяем их ординаты. Это эквивалентно подстановке значений $x$ в формулу функции.
При $x = -3$, $y = -\frac{3}{-3} = 1$.
При $x = 1$, $y = -\frac{3}{1} = -3$.
При $x = 6$, $y = -\frac{3}{6} = -0.5$.

Ответ: при $x=-3$, $y=1$; при $x=1$, $y=-3$; при $x=6$, $y=-0.5$.

б) значения x, если y = 3; -1; -6;

Находим на графике точки с указанными ординатами и определяем их абсциссы. Для этого решаем уравнение $y = -\frac{3}{x}$ относительно $x$, получая $x = -\frac{3}{y}$.
Если $y = 3$, то $x = -\frac{3}{3} = -1$.
Если $y = -1$, то $x = -\frac{3}{-1} = 3$.
Если $y = -6$, то $x = -\frac{3}{-6} = 0.5$.

Ответ: при $y=3$, $x=-1$; при $y=-1$, $x=3$; при $y=-6$, $x=0.5$.

в) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-3; -1];

Рассмотрим часть графика, где $x$ изменяется от -3 до -1. Эта часть находится во II четверти. Функция $y = -\frac{3}{x}$ является возрастающей на каждом из своих промежутков определения: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. Следовательно, на отрезке $[-3; -1]$ наименьшее значение достигается в левой границе отрезка, а наибольшее — в правой.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-3) = -\frac{3}{-3} = 1$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-1) = -\frac{3}{-1} = 3$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[-3; -1]$ равно 1, наибольшее значение равно 3.

г) какому промежутку принадлежит переменная x, если $y \in [-3; -\frac{1}{2}]$;

Заданные значения $y$ отрицательны, следовательно, мы рассматриваем ветвь гиперболы в IV четверти, где $x>0$. Найдём значения $x$, которые соответствуют границам данного промежутка для $y$.
Если $y = -3$, то $-3 = -\frac{3}{x}$, откуда $x=1$.
Если $y = -\frac{1}{2}$, то $-\frac{1}{2} = -\frac{3}{x}$, откуда $x = 6$.
Поскольку на промежутке $(0; +\infty)$ функция возрастает, то при увеличении $y$ от -3 до $-\frac{1}{2}$ соответствующее значение $x$ также будет увеличиваться от 1 до 6. Так как концы промежутка для $y$ включены, то и концы промежутка для $x$ также будут включены.

Ответ: $x \in [1; 6]$.

20.7 а) Постройте график функции $y = \frac{4}{x}$.

б) Найдите, при каких значениях аргумента значение функции равно 2.

в) Выделите ту часть графика, которая соответствует условию $y > 2$. При каких значениях $x$ выполняется это условие?

г) При каких значениях $x$ выполняется условие $y < 2$?

а) Функция $y = \frac{4}{x}$ — это обратная пропорциональность, ее график — гипербола. Область определения функции: все действительные числа, кроме $x=0$. График состоит из двух ветвей, расположенных в первом и третьем координатных квадрантах, так как коэффициент $k=4$ положителен. Оси координат являются асимптотами графика.

Для построения графика найдем несколько ключевых точек, составив таблицу значений для каждой ветви:

Первая ветвь (при $x > 0$):

• Если $x=1$, то $y = \frac{4}{1} = 4$. Точка (1; 4).
• Если $x=2$, то $y = \frac{4}{2} = 2$. Точка (2; 2).
• Если $x=4$, то $y = \frac{4}{4} = 1$. Точка (4; 1).

Вторая ветвь (при $x < 0$):

• Если $x=-1$, то $y = \frac{4}{-1} = -4$. Точка (-1; -4).
• Если $x=-2$, то $y = \frac{4}{-2} = -2$. Точка (-2; -2).
• Если $x=-4$, то $y = \frac{4}{-4} = -1$. Точка (-4; -1).

Соединив точки в каждом квадранте плавными кривыми, которые приближаются к осям координат, но не пересекают их, мы получим график функции — гиперболу.

б) Чтобы найти значение аргумента ($x$), при котором значение функции ($y$) равно 2, необходимо решить уравнение:

$2 = \frac{4}{x}$

Умножим обе части уравнения на $x$ (поскольку $x \neq 0$):

$2x = 4$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{4}{2} = 2$

Ответ: При $x=2$.

в) Чтобы выделить часть графика, соответствующую условию $y > 2$, и найти соответствующие значения $x$, решим неравенство:

$\frac{4}{x} > 2$

Так как $y>2$ (положительное значение), то и $x$ должен быть положительным (ветвь гиперболы находится в первом квадранте). Поэтому мы можем умножить обе части неравенства на $x > 0$, не меняя знака неравенства:

$4 > 2x$

$2 > x$, или $x < 2$

Совмещая с условием $x > 0$, получаем итоговый интервал $0 < x < 2$.

На графике этому условию соответствует часть ветви гиперболы в первом квадранте, расположенная выше горизонтальной прямой $y=2$. Эта часть начинается от оси $y$ и идет до точки (2; 2), не включая саму точку.

Ответ: Условие выполняется при $0 < x < 2$.

г) Чтобы найти значения $x$, при которых выполняется условие $y < 2$, решим неравенство:

$\frac{4}{x} < 2$

Перенесем все члены в одну сторону:

$\frac{4}{x} - 2 < 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{4 - 2x}{x} < 0$

Это неравенство верно, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки. Решим его методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $x=2$ и $x=0$. Эти точки делят числовую ось на интервалы $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$.

• При $x < 0$ (например, $x=-1$), дробь $\frac{4-2(-1)}{-1} = \frac{6}{-1} = -6 < 0$. Интервал $(-\infty; 0)$ является решением.
• При $0 < x < 2$ (например, $x=1$), дробь $\frac{4-2(1)}{1} = \frac{2}{1} = 2 > 0$. Интервал $(0; 2)$ не является решением.
• При $x > 2$ (например, $x=4$), дробь $\frac{4-2(4)}{4} = \frac{-4}{4} = -1 < 0$. Интервал $(2; +\infty)$ является решением.

Объединяя найденные интервалы, получаем решение.

Графически это соответствует всей ветви гиперболы в третьем квадранте (где $y$ всегда отрицателен и, следовательно, меньше 2), а также части ветви в первом квадранте, лежащей ниже прямой $y=2$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$.

20.8 а) Постройте график функции $y = -\frac{1}{x}$.

б) Найдите, при каких значениях аргумента значение функции равно 1.

в) При каких значениях $x$ выполняется неравенство $y > 1$?

г) При каких значениях $x$ выполняется неравенство $y < 1$?

а)

Функция $y = -\frac{1}{x}$ является обратной пропорциональностью. Её график — гипербола. Для построения графика проанализируем свойства функции.

1. Область определения функции: все действительные числа, кроме $x=0$, так как на ноль делить нельзя. Записывается как $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Область значений функции: все действительные числа, кроме $y=0$, так как дробь $-\frac{1}{x}$ никогда не может быть равна нулю. Записывается как $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

3. Асимптоты: Прямые, к которым график функции стремится, но не пересекает. Для данной функции это координатные оси: вертикальная асимптота $x=0$ (ось Oy) и горизонтальная асимптота $y=0$ (ось Ox).

4. Расположение ветвей: График функции $y = -\frac{1}{x}$ получается из графика $y = \frac{1}{x}$ путем зеркального отражения относительно оси Ox (или Oy).

• Если $x > 0$ (положительные значения), то $y = -\frac{1}{x}$ будет иметь отрицательные значения ($y < 0$). Следовательно, одна ветвь гиперболы расположена в четвертой координатной четверти.
• Если $x < 0$ (отрицательные значения), то $y = -\frac{1}{x}$ будет иметь положительные значения ($y > 0$). Следовательно, вторая ветвь гиперболы расположена во второй координатной четверти.

5. Построение по точкам: Для точности построения составим таблицу значений для нескольких точек на каждой ветви.

Отмечая эти точки на координатной плоскости и соединяя их плавными кривыми, которые асимптотически приближаются к осям координат, мы получаем график функции.

Ответ: Графиком функции является гипербола, состоящая из двух ветвей, расположенных во второй и четвертой координатных четвертях и симметричных относительно начала координат.

б)

Чтобы найти, при каких значениях аргумента $x$ значение функции равно 1, необходимо решить уравнение $y = 1$.

Подставим $y=1$ в уравнение функции $y = -\frac{1}{x}$: $1 = -\frac{1}{x}$

Для решения этого уравнения умножим обе части на $x$ (это допустимо, так как $x \ne 0$ согласно области определения функции): $x \cdot 1 = -1$ $x = -1$

Проверим: если $x = -1$, то $y = -\frac{1}{-1} = 1$. Решение верно.

Ответ: при $x = -1$.

в)

Чтобы найти, при каких значениях $x$ выполняется неравенство $y > 1$, нужно решить неравенство: $-\frac{1}{x} > 1$

Перенесем 1 в левую часть, чтобы сравнить выражение с нулем: $-\frac{1}{x} - 1 > 0$

Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $\frac{1}{x} + 1 < 0$

Приведем левую часть к общему знаменателю: $\frac{1+x}{x} < 0$

Это дробно-рациональное неравенство. Решим его методом интервалов. Найдем значения $x$, при которых числитель или знаменатель равны нулю:

• Числитель: $1+x = 0 \implies x = -1$
• Знаменатель: $x = 0$

Нанесем точки -1 и 0 на числовую ось. Точка $x=0$ всегда выколота, так как находится в знаменателе. Точка $x=-1$ также выколота, так как неравенство строгое. Эти точки делят ось на три интервала. Определим знак выражения $\frac{1+x}{x}$ на каждом из них:

• Интервал $(-\infty; -1)$: возьмем $x=-2$. $\frac{1+(-2)}{-2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2} > 0$.
• Интервал $(-1; 0)$: возьмем $x=-0.5$. $\frac{1+(-0.5)}{-0.5} = \frac{0.5}{-0.5} = -1 < 0$.
• Интервал $(0; +\infty)$: возьмем $x=1$. $\frac{1+1}{1} = 2 > 0$.

Нас интересует, где выражение меньше нуля. Это происходит на интервале $(-1; 0)$.

Ответ: при $x \in (-1; 0)$.

г)

Чтобы найти, при каких значениях $x$ выполняется неравенство $y < 1$, нужно решить неравенство: $-\frac{1}{x} < 1$

Аналогично пункту в), приведем неравенство к виду, удобному для решения методом интервалов: $-\frac{1}{x} - 1 < 0$

Умножим на -1, изменив знак неравенства: $\frac{1}{x} + 1 > 0$

Приведем к общему знаменателю: $\frac{1+x}{x} > 0$

Используя результаты анализа знаков из пункта в), выберем интервалы, на которых выражение $\frac{1+x}{x}$ положительно. Это интервалы $(-\infty; -1)$ и $(0; +\infty)$.

Другой способ — использовать график. Неравенство $y < 1$ выполняется для тех $x$, где график функции $y = -\frac{1}{x}$ лежит ниже прямой $y=1$. Из графика видно, что это вся правая ветвь (при $x > 0$) и часть левой ветви, которая находится левее точки пересечения с прямой $y=1$ (то есть при $x < -1$).

Ответ: при $x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$.

20.9 Принадлежит ли графику функции $y = \frac{68}{x}$ точка:

а) A(1; 68);

б) B(5; 13);

в) C(-2; 34);

г) D(-4; -17)?

Чтобы проверить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить ее координаты (x и y) в уравнение функции. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, то точка принадлежит графику. В противном случае — не принадлежит.

Заданная функция: $y = \frac{68}{x}$.

а) A(1; 68)

Подставляем координаты точки A в уравнение функции, где $x=1$ и $y=68$:

$68 = \frac{68}{1}$

$68 = 68$

Полученное равенство является верным, следовательно, точка A принадлежит графику функции.

Ответ: да, принадлежит.

б) B(5; 13)

Подставляем координаты точки B в уравнение функции, где $x=5$ и $y=13$:

$13 = \frac{68}{5}$

$13 = 13.6$

Полученное равенство является неверным, следовательно, точка B не принадлежит графику функции.

Ответ: нет, не принадлежит.

в) C(-2; 34)

Подставляем координаты точки C в уравнение функции, где $x=-2$ и $y=34$:

$34 = \frac{68}{-2}$

$34 = -34$

Полученное равенство является неверным, следовательно, точка C не принадлежит графику функции.

Ответ: нет, не принадлежит.

г) D(-4; -17)

Подставляем координаты точки D в уравнение функции, где $x=-4$ и $y=-17$:

$-17 = \frac{68}{-4}$

$-17 = -17$

Полученное равенство является верным, следовательно, точка D принадлежит графику функции.

Ответ: да, принадлежит.

20.10 Задайте формулой обратную пропорциональность, зная, что её график проходит через точку:

а) $M(3; 7)$;

б) $N(-0.2; 12)$;

в) $K(-4; 19)$;

г) $L(2.5; 8)$.

Обратная пропорциональность — это функция, которую можно задать формулой вида $y = \frac{k}{x}$, где $x$ — независимая переменная, а $k$ — не равное нулю число, называемое коэффициентом обратной пропорциональности.
Чтобы найти этот коэффициент, зная, что график функции проходит через точку с координатами $(x_0; y_0)$, нужно подставить эти координаты в формулу функции: $y_0 = \frac{k}{x_0}$. Отсюда можно выразить $k$: $k = x_0 \cdot y_0$.

а)

График обратной пропорциональности проходит через точку $M(3; 7)$.
Подставим координаты точки в формулу $k = x \cdot y$:
$k = 3 \cdot 7 = 21$
Следовательно, искомая формула: $y = \frac{21}{x}$.

Ответ: $y = \frac{21}{x}$

б)

График обратной пропорциональности проходит через точку $N(-0,2; 12)$.
Подставим координаты точки в формулу $k = x \cdot y$:
$k = -0,2 \cdot 12 = -2,4$
Следовательно, искомая формула: $y = \frac{-2,4}{x}$.

Ответ: $y = -\frac{2,4}{x}$

в)

График обратной пропорциональности проходит через точку $K(-4; 19)$.
Подставим координаты точки в формулу $k = x \cdot y$:
$k = -4 \cdot 19 = -76$
Следовательно, искомая формула: $y = \frac{-76}{x}$.

Ответ: $y = -\frac{76}{x}$

г)

График обратной пропорциональности проходит через точку $L(2,5; 8)$.
Подставим координаты точки в формулу $k = x \cdot y$:
$k = 2,5 \cdot 8 = 20$
Следовательно, искомая формула: $y = \frac{20}{x}$.

Ответ: $y = \frac{20}{x}$

20.11 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = \frac{2}{x}$:

а) на отрезке $[-2; -1];$

б) на полуинтервале $[1; 4);$

в) на луче $(-\infty; -1];$

г) на интервале $(1; 2).$

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = \frac{2}{x}$ проанализируем ее поведение. Область определения функции: $x \neq 0$. Найдем производную функции:

$y' = (\frac{2}{x})' = (2x^{-1})' = -2x^{-2} = -\frac{2}{x^2}$.

Поскольку $x^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, производная $y' = -\frac{2}{x^2}$ всегда отрицательна. Это означает, что функция $y = \frac{2}{x}$ является строго убывающей на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

а) на отрезке [-2; -1]

Данный отрезок принадлежит промежутку $(-\infty; 0)$, на котором функция убывает. Для убывающей функции на замкнутом отрезке наибольшее значение достигается в левой граничной точке, а наименьшее — в правой.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-2) = \frac{2}{-2} = -1$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-1) = \frac{2}{-1} = -2$.

Ответ: наибольшее значение равно -1, наименьшее значение равно -2.

б) на полуинтервале [1; 4)

Данный полуинтервал принадлежит промежутку $(0; +\infty)$, на котором функция убывает. Наибольшее значение достигается в точке с наименьшей абсциссой, которая принадлежит данному промежутку. Это левая граница $x = 1$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(1) = \frac{2}{1} = 2$.

Правая граница $x=4$ не включена в полуинтервал. При приближении $x$ к 4 (слева), значения функции $y$ стремятся к $y(4) = \frac{2}{4} = 0.5$. Однако, так как $x$ никогда не достигает значения 4, функция никогда не принимает значение 0.5. Таким образом, наименьшего значения на данном полуинтервале не существует.

Ответ: наибольшее значение равно 2, наименьшего значения не существует.

в) на луче (-∞; -1]

Данный луч принадлежит промежутку $(-\infty; 0)$, на котором функция убывает. Для убывающей функции на таком промежутке наименьшее значение будет достигаться в точке с наибольшей абсциссой, то есть в правой граничной точке $x = -1$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-1) = \frac{2}{-1} = -2$.

Когда $x$ стремится к $-\infty$, значения функции $y = \frac{2}{x}$ стремятся к 0, но никогда его не достигают ($y$ всегда будет отрицательным, но сколь угодно близким к нулю). Следовательно, наибольшего значения на данном луче не существует.

Ответ: наименьшее значение равно -2, наибольшего значения не существует.

г) на интервале (1; 2)

Данный интервал принадлежит промежутку $(0; +\infty)$, на котором функция убывает. Обе границы интервала, $x=1$ и $x=2$, не включены. Когда $x$ стремится к 1 (справа), значения функции $y$ стремятся к $y(1) = 2$. Когда $x$ стремится к 2 (слева), значения функции $y$ стремятся к $y(2) = 1$. Все значения функции на этом интервале лежат в промежутке $(1; 2)$. Поскольку граничные значения 1 и 2 не достигаются, у функции на данном интервале нет ни наименьшего, ни наибольшего значения.

Ответ: ни наименьшего, ни наибольшего значений не существует.

20.12 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = -\frac{4}{x}$:

а) на отрезке $[-4; -2];$
б) на интервале $(1; 4);$
в) на луче $[2; +\infty);$
г) на полуинтервале $(-4; -2].$

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = -\frac{4}{x}$ на заданных промежутках, сначала проанализируем её поведение.

Это функция обратной пропорциональности. График — гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях.

Найдём производную функции, чтобы определить промежутки монотонности: $y' = \left(-\frac{4}{x}\right)' = -4 \cdot (x^{-1})' = -4 \cdot (-1 \cdot x^{-2}) = \frac{4}{x^2}$.

Так как $x^2 > 0$ при любом $x \neq 0$, производная $y' = \frac{4}{x^2}$ всегда положительна на всей области определения функции $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Это означает, что функция $y = -\frac{4}{x}$ является строго возрастающей на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

а) на отрезке [-4; -2]

Отрезок $[-4; -2]$ полностью лежит в промежутке $(-\infty; 0)$, где функция возрастает. На отрезке $[a, b]$ возрастающая функция достигает своего наименьшего значения в левой границе ($x=a$) и наибольшего — в правой ($x=b$).

Вычисляем значения на концах отрезка:

• Наименьшее значение (при $x=-4$): $y_{наим} = y(-4) = -\frac{4}{-4} = 1$.
• Наибольшее значение (при $x=-2$): $y_{наиб} = y(-2) = -\frac{4}{-2} = 2$.

Ответ: наименьшее значение функции равно 1, наибольшее значение равно 2.

б) на интервале (1; 4)

Интервал $(1; 4)$ полностью лежит в промежутке $(0; +\infty)$, где функция возрастает. Поскольку интервал открытый, то есть его концы не включаются в рассмотрение, функция не достигает на нём своих точных граничных значений.

При $x$, стремящемся к 1, $y$ стремится к $-\frac{4}{1} = -4$. При $x$, стремящемся к 4, $y$ стремится к $-\frac{4}{4} = -1$. Множество значений функции на этом интервале — $(-4; -1)$.

Так как значения -4 и -1 не достигаются, наименьшего и наибольшего значений у функции на данном интервале нет.

Ответ: наименьшего и наибольшего значений нет.

в) на луче [2; +∞)

Луч $[2; +∞)$ лежит в промежутке $(0; +\infty)$, где функция возрастает.

Наименьшее значение достигается в начальной точке луча $x=2$: $y_{наим} = y(2) = -\frac{4}{2} = -2$.

При увеличении $x$ ($x \to +\infty$), значение функции $y = -\frac{4}{x}$ приближается к 0, но никогда его не достигает ($y \to 0^-$). Следовательно, наибольшего значения на этом луче нет.

Ответ: наименьшее значение равно -2, наибольшего значения нет.

г) на полуинтервале (-4; -2]

Полуинтервал $(-4; -2]$ лежит в промежутке $(-\infty; 0)$, где функция возрастает.

Наибольшее значение достигается в правой, включенной, границе полуинтервала при $x=-2$: $y_{наиб} = y(-2) = -\frac{4}{-2} = 2$.

Левая граница $x=-4$ не включена в полуинтервал. При $x$, стремящемся к -4, значение функции $y$ стремится к $y(-4) = -\frac{4}{-4} = 1$, но не достигает этого значения. Следовательно, наименьшего значения на данном полуинтервале нет.

Ответ: наименьшего значения нет, наибольшее значение равно 2.