Номер 20.6, страница 114, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 20. Функция у =k/x, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 20.6, страница 114.

Условие.

20.6 Постройте график функции $y = -\frac{3}{x}$. С помощью графика найдите:

а) значения $y$ при $x = -3$; $1$; $6$;

б) значения $x$, если $y = 3$; $-1$; $-6$;

в) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке $[-3; -1]$;

г) какому промежутку принадлежит переменная $x$, если $y \in \left[-3; -\frac{1}{2}\right]$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для построения графика функции $y = -\frac{3}{x}$ необходимо понять её свойства. Это обратная пропорциональность, график которой — гипербола. Поскольку коэффициент $k=-3$ отрицательный, ветви гиперболы располагаются во II и IV координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат $Ox$ и $Oy$.

Составим таблицу значений для построения графика:

$x$	-6	-3	-2	-1	-0.5	0.5	1	2	3	6
$y$	0.5	1	1.5	3	6	-6	-3	-1.5	-1	-0.5

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавными линиями, мы получим график гиперболы. Теперь, используя график (и вычисления для точности), ответим на вопросы.

а) значения y при x = -3; 1; 6;

Находим на графике точки с указанными абсциссами и определяем их ординаты. Это эквивалентно подстановке значений $x$ в формулу функции.
При $x = -3$, $y = -\frac{3}{-3} = 1$.
При $x = 1$, $y = -\frac{3}{1} = -3$.
При $x = 6$, $y = -\frac{3}{6} = -0.5$.

Ответ: при $x=-3$, $y=1$; при $x=1$, $y=-3$; при $x=6$, $y=-0.5$.

б) значения x, если y = 3; -1; -6;

Находим на графике точки с указанными ординатами и определяем их абсциссы. Для этого решаем уравнение $y = -\frac{3}{x}$ относительно $x$, получая $x = -\frac{3}{y}$.
Если $y = 3$, то $x = -\frac{3}{3} = -1$.
Если $y = -1$, то $x = -\frac{3}{-1} = 3$.
Если $y = -6$, то $x = -\frac{3}{-6} = 0.5$.

Ответ: при $y=3$, $x=-1$; при $y=-1$, $x=3$; при $y=-6$, $x=0.5$.

в) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-3; -1];

Рассмотрим часть графика, где $x$ изменяется от -3 до -1. Эта часть находится во II четверти. Функция $y = -\frac{3}{x}$ является возрастающей на каждом из своих промежутков определения: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. Следовательно, на отрезке $[-3; -1]$ наименьшее значение достигается в левой границе отрезка, а наибольшее — в правой.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-3) = -\frac{3}{-3} = 1$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-1) = -\frac{3}{-1} = 3$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[-3; -1]$ равно 1, наибольшее значение равно 3.

г) какому промежутку принадлежит переменная x, если $y \in [-3; -\frac{1}{2}]$;

Заданные значения $y$ отрицательны, следовательно, мы рассматриваем ветвь гиперболы в IV четверти, где $x>0$. Найдём значения $x$, которые соответствуют границам данного промежутка для $y$.
Если $y = -3$, то $-3 = -\frac{3}{x}$, откуда $x=1$.
Если $y = -\frac{1}{2}$, то $-\frac{1}{2} = -\frac{3}{x}$, откуда $x = 6$.
Поскольку на промежутке $(0; +\infty)$ функция возрастает, то при увеличении $y$ от -3 до $-\frac{1}{2}$ соответствующее значение $x$ также будет увеличиваться от 1 до 6. Так как концы промежутка для $y$ включены, то и концы промежутка для $x$ также будут включены.

Ответ: $x \in [1; 6]$.