Номер 20.13, страница 115, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 20. Функция у =k/x, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 20.13, страница 115.

Условие.

20.13 Найдите точки пересечения графиков функций:

а) $y = \frac{2}{x}$ и $y = 2x$;

б) $y = -\frac{5}{x}$ и $y = -5$;

в) $y = -\frac{3}{x}$ и $y = -3x$;

г) $y = \frac{4}{x}$ и $y = 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Чтобы найти точки пересечения графиков двух функций, необходимо приравнять их правые части и решить полученное уравнение относительно $x$. Найденные значения $x$ (абсциссы точек пересечения) затем подставляются в любую из исходных функций для нахождения соответствующих значений $y$ (ординат точек пересечения).

а)

Приравняем правые части функций $y = \frac{2}{x}$ и $y = 2x$:
$\frac{2}{x} = 2x$
Поскольку $x$ находится в знаменателе, область допустимых значений $x \ne 0$. Умножим обе части уравнения на $x$:
$2 = 2x^2$
Разделим обе части на 2:
$x^2 = 1$
Отсюда находим два значения для $x$:
$x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные значения $x$ в уравнение $y = 2x$:
Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 2 \cdot 1 = 2$.
Если $x_2 = -1$, то $y_2 = 2 \cdot (-1) = -2$.
Таким образом, мы получили две точки пересечения.

Ответ: $(1; 2)$ и $(-1; -2)$.

б)

Приравняем правые части функций $y = -\frac{5}{x}$ и $y = -5$:
$-\frac{5}{x} = -5$
При $x \ne 0$ умножим обе части на $-1$:
$\frac{5}{x} = 5$
Умножим обе части на $x$:
$5 = 5x$
Разделим обе части на 5:
$x = 1$
Значение $y$ уже дано во втором уравнении: $y = -5$.
Таким образом, точка пересечения одна.

Ответ: $(1; -5)$.

в)

Приравняем правые части функций $y = -\frac{3}{x}$ и $y = -3x$:
$-\frac{3}{x} = -3x$
При условии, что $x \ne 0$, разделим обе части на $-3$ (или умножим на $-1$):
$\frac{1}{x} = x$
Умножим обе части на $x$:
$1 = x^2$
Отсюда находим два значения для $x$:
$x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в уравнение $y = -3x$:
Если $x_1 = 1$, то $y_1 = -3 \cdot 1 = -3$.
Если $x_2 = -1$, то $y_2 = -3 \cdot (-1) = 3$.
Мы получили две точки пересечения.

Ответ: $(1; -3)$ и $(-1; 3)$.

г)

Приравняем правые части функций $y = \frac{4}{x}$ и $y = 1$:
$\frac{4}{x} = 1$
При условии, что $x \ne 0$, умножим обе части на $x$:
$4 = x$
Итак, $x = 4$.
Значение $y$ уже дано во втором уравнении: $y = 1$.
Таким образом, точка пересечения одна.

Ответ: $(4; 1)$.