Номер 20.18, страница 115, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 20. Функция у =k/x, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 20.18, страница 115.

Условие.

20.18 а)

$y = -\frac{4}{x}$,

$y = 0,5x^2$;

б) $y = -\frac{1}{x}$,

$y = -\sqrt{x}$;

в) $y = \frac{8}{x}$,

$y = x^2$;

г) $y = \frac{2}{x}$,

$y = 2\sqrt{x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

a) Чтобы найти точки пересечения графиков функций, решим систему уравнений. Для этого приравняем выражения для $y$:
$ \begin{cases} y = -\frac{4}{x} \\ y = 0,5x^2 \end{cases} $
$-\frac{4}{x} = 0,5x^2$
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения: $x \neq 0$.
Умножим обе части уравнения на $2x$, чтобы избавиться от дроби и десятичного коэффициента:
$2x \cdot (-\frac{4}{x}) = 2x \cdot (0,5x^2)$
$-8 = x^3$
Отсюда находим $x$, извлекая кубический корень:
$x = \sqrt[3]{-8} = -2$
Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = -2$ в любое из исходных уравнений. Воспользуемся вторым:
$y = 0,5 \cdot (-2)^2 = 0,5 \cdot 4 = 2$
Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(-2; 2)$.
Ответ: $(-2; 2)$.

б) Решим систему уравнений, приравняв правые части:
$ \begin{cases} y = -\frac{1}{x} \\ y = -\sqrt{x} \end{cases} $
$-\frac{1}{x} = -\sqrt{x}$
ОДЗ: из-за наличия $\sqrt{x}$, должно выполняться $x \ge 0$. Из-за знаменателя $x$, $x \neq 0$. Следовательно, ОДЗ: $x > 0$.
Умножим обе части уравнения на -1:
$\frac{1}{x} = \sqrt{x}$
Поскольку в ОДЗ ($x > 0$) обе части уравнения положительны, мы можем возвести их в квадрат:
$(\frac{1}{x})^2 = (\sqrt{x})^2$
$\frac{1}{x^2} = x$
Умножим обе части на $x^2$:
$1 = x^3$
$x = 1$
Найдем $y$, подставив $x = 1$ в любое из уравнений, например, во второе:
$y = -\sqrt{1} = -1$
Точка пересечения: $(1; -1)$.
Ответ: $(1; -1)$.

в) Решим систему уравнений, приравняв правые части:
$ \begin{cases} y = \frac{8}{x} \\ y = x^2 \end{cases} $
$\frac{8}{x} = x^2$
ОДЗ: $x \neq 0$.
Умножим обе части на $x$:
$8 = x^3$
$x = \sqrt[3]{8} = 2$
Найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=2$ в уравнение $y=x^2$:
$y = 2^2 = 4$
Точка пересечения: $(2; 4)$.
Ответ: $(2; 4)$.

г) Решим систему уравнений, приравняв правые части:
$ \begin{cases} y = \frac{2}{x} \\ y = 2\sqrt{x} \end{cases} $
$\frac{2}{x} = 2\sqrt{x}$
ОДЗ: $x > 0$.
Разделим обе части уравнения на 2:
$\frac{1}{x} = \sqrt{x}$
Поскольку в ОДЗ ($x > 0$) обе части уравнения положительны, возведем их в квадрат:
$(\frac{1}{x})^2 = (\sqrt{x})^2$
$\frac{1}{x^2} = x$
$1 = x^3$
$x = 1$
Найдем $y$, подставив $x=1$ в уравнение $y = 2\sqrt{x}$:
$y = 2\sqrt{1} = 2 \cdot 1 = 2$
Точка пересечения: $(1; 2)$.
Ответ: $(1; 2)$.