Номер 20.20, страница 116, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 20. Функция у =k/x, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 20.20, страница 116.

Условие.

20.20 Используя графики функций $y = \frac{2}{x}$ и $y = 0,5x$:

а) определите, при каких значениях x прямая расположена ниже гиперболы;

б) решите неравенство $0,5x > \frac{2}{x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи нам нужно проанализировать взаимное расположение графиков двух функций: гиперболы $y = \frac{2}{x}$ и прямой $y = 0.5x$.

Сначала найдем точки пересечения этих графиков, для чего приравняем их правые части:

$0.5x = \frac{2}{x}$

Область допустимых значений $x \neq 0$. Умножим обе части уравнения на $x$:

$0.5x^2 = 2$

Умножим обе части на 2:

$x^2 = 4$

Отсюда находим абсциссы точек пересечения:

$x_1 = -2$ и $x_2 = 2$

Найдем ординаты этих точек, подставив значения $x$ в уравнение прямой:

При $x = -2$, $y = 0.5 \cdot (-2) = -1$. Точка пересечения $(-2, -1)$.

При $x = 2$, $y = 0.5 \cdot 2 = 1$. Точка пересечения $(2, 1)$.

Точки пересечения ($x=-2$ и $x=2$) и точка разрыва гиперболы ($x=0$) разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$, $(0, 2)$, $(2, +\infty)$. Проанализируем положение графиков на каждом из этих интервалов.

а)

Определим, при каких значениях $x$ прямая расположена ниже гиперболы. Это соответствует решению неравенства $0.5x < \frac{2}{x}$. Мы ищем интервалы, на которых график функции $y = 0.5x$ проходит ниже графика функции $y = \frac{2}{x}$.

Проанализируем интервалы:

• На интервале $(-\infty, -2)$: Возьмем пробную точку $x = -4$. Для прямой $y = 0.5(-4) = -2$. Для гиперболы $y = \frac{2}{-4} = -0.5$. Так как $-2 < -0.5$, на этом интервале прямая находится ниже гиперболы.
• На интервале $(-2, 0)$: Возьмем пробную точку $x = -1$. Для прямой $y = 0.5(-1) = -0.5$. Для гиперболы $y = \frac{2}{-1} = -2$. Так как $-0.5 > -2$, на этом интервале прямая находится выше гиперболы.
• На интервале $(0, 2)$: Возьмем пробную точку $x = 1$. Для прямой $y = 0.5(1) = 0.5$. Для гиперболы $y = \frac{2}{1} = 2$. Так как $0.5 < 2$, на этом интервале прямая находится ниже гиперболы.
• На интервале $(2, +\infty)$: Возьмем пробную точку $x = 4$. Для прямой $y = 0.5(4) = 2$. Для гиперболы $y = \frac{2}{4} = 0.5$. Так как $2 > 0.5$, на этом интервале прямая находится выше гиперболы.

Следовательно, прямая расположена ниже гиперболы при $x \in (-\infty, -2)$ и $x \in (0, 2)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (0, 2)$.

б)

Решим неравенство $0.5x > \frac{2}{x}$.

Это неравенство соответствует условию, что график прямой $y=0.5x$ расположен выше графика гиперболы $y=\frac{2}{x}$.

Из анализа, проведенного в пункте а), мы уже знаем, на каких интервалах прямая находится выше гиперболы. Это интервалы, где не выполнялось условие из пункта а).

Таким образом, прямая расположена выше гиперболы на интервалах $(-2, 0)$ и $(2, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-2, 0) \cup (2, +\infty)$.