Номер 20.15, страница 115, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 20. Функция у =k/x, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 20.15, страница 115.

Условие.

20.15 a) $\frac{2}{x} = -\frac{x}{2}$;

б) $\frac{1}{x} = |x|$;

в) $\frac{3}{x} = \frac{x}{3}$;

г) $-\frac{4}{x} = |x|$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $\frac{2}{x} = -\frac{x}{2}$

Данное уравнение является пропорцией. Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения: $x \neq 0$, так как на ноль делить нельзя.

Воспользуемся основным свойством пропорции (перекрестное умножение):

$2 \cdot 2 = -x \cdot x$

$4 = -x^2$

Умножим обе части на -1:

$x^2 = -4$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет корней.

б) $\frac{1}{x} = |x|$

ОДЗ: $x \neq 0$.

Правая часть уравнения, $|x|$, по определению модуля, всегда неотрицательна. Так как $x \neq 0$, то $|x| > 0$.

Это означает, что и левая часть уравнения должна быть положительной: $\frac{1}{x} > 0$. Это неравенство выполняется только при $x > 0$.

Поскольку мы установили, что $x$ должен быть положительным, мы можем раскрыть модуль: $|x| = x$.

Подставим это в исходное уравнение:

$\frac{1}{x} = x$

Умножим обе части на $x$ (мы знаем, что $x \neq 0$):

$1 = x^2$

Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие условию $x > 0$. Корень $x=1$ удовлетворяет этому условию, а корень $x=-1$ — нет. Таким образом, у уравнения только один корень.

Ответ: 1.

в) $\frac{3}{x} = \frac{x}{3}$

ОДЗ: $x \neq 0$.

Применим правило перекрестного умножения для пропорции:

$3 \cdot 3 = x \cdot x$

$9 = x^2$

Это уравнение имеет два корня:

$x_1 = \sqrt{9} = 3$

$x_2 = -\sqrt{9} = -3$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: -3; 3.

г) $-\frac{4}{x} = |x|$

ОДЗ: $x \neq 0$.

Правая часть уравнения, $|x|$, всегда неотрицательна, а так как $x \neq 0$, то $|x| > 0$.

Следовательно, левая часть уравнения также должна быть положительной: $-\frac{4}{x} > 0$.

Умножим неравенство на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$\frac{4}{x} < 0$

Это неравенство справедливо, когда знаменатель отрицателен, то есть $x < 0$.

Для отрицательных значений $x$ модуль раскрывается как $|x| = -x$.

Подставим это в исходное уравнение:

$-\frac{4}{x} = -x$

Умножим обе части на -1:

$\frac{4}{x} = x$

Умножим обе части на $x$:

$4 = x^2$

Получаем два возможных корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Согласно нашему условию $x < 0$, корень $x=2$ не подходит. Подходит только корень $x=-2$.

Ответ: -2.