Номер 20.12, страница 114, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 20. Функция у =k/x, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 20.12, страница 114.

Условие.

20.12 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = -\frac{4}{x}$:

а) на отрезке $[-4; -2];$
б) на интервале $(1; 4);$
в) на луче $[2; +\infty);$
г) на полуинтервале $(-4; -2].$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = -\frac{4}{x}$ на заданных промежутках, сначала проанализируем её поведение.

Это функция обратной пропорциональности. График — гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях.

Найдём производную функции, чтобы определить промежутки монотонности: $y' = \left(-\frac{4}{x}\right)' = -4 \cdot (x^{-1})' = -4 \cdot (-1 \cdot x^{-2}) = \frac{4}{x^2}$.

Так как $x^2 > 0$ при любом $x \neq 0$, производная $y' = \frac{4}{x^2}$ всегда положительна на всей области определения функции $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Это означает, что функция $y = -\frac{4}{x}$ является строго возрастающей на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

а) на отрезке [-4; -2]

Отрезок $[-4; -2]$ полностью лежит в промежутке $(-\infty; 0)$, где функция возрастает. На отрезке $[a, b]$ возрастающая функция достигает своего наименьшего значения в левой границе ($x=a$) и наибольшего — в правой ($x=b$).

Вычисляем значения на концах отрезка:

• Наименьшее значение (при $x=-4$): $y_{наим} = y(-4) = -\frac{4}{-4} = 1$.
• Наибольшее значение (при $x=-2$): $y_{наиб} = y(-2) = -\frac{4}{-2} = 2$.

Ответ: наименьшее значение функции равно 1, наибольшее значение равно 2.

б) на интервале (1; 4)

Интервал $(1; 4)$ полностью лежит в промежутке $(0; +\infty)$, где функция возрастает. Поскольку интервал открытый, то есть его концы не включаются в рассмотрение, функция не достигает на нём своих точных граничных значений.

При $x$, стремящемся к 1, $y$ стремится к $-\frac{4}{1} = -4$. При $x$, стремящемся к 4, $y$ стремится к $-\frac{4}{4} = -1$. Множество значений функции на этом интервале — $(-4; -1)$.

Так как значения -4 и -1 не достигаются, наименьшего и наибольшего значений у функции на данном интервале нет.

Ответ: наименьшего и наибольшего значений нет.

в) на луче [2; +∞)

Луч $[2; +∞)$ лежит в промежутке $(0; +\infty)$, где функция возрастает.

Наименьшее значение достигается в начальной точке луча $x=2$: $y_{наим} = y(2) = -\frac{4}{2} = -2$.

При увеличении $x$ ($x \to +\infty$), значение функции $y = -\frac{4}{x}$ приближается к 0, но никогда его не достигает ($y \to 0^-$). Следовательно, наибольшего значения на этом луче нет.

Ответ: наименьшее значение равно -2, наибольшего значения нет.

г) на полуинтервале (-4; -2]

Полуинтервал $(-4; -2]$ лежит в промежутке $(-\infty; 0)$, где функция возрастает.

Наибольшее значение достигается в правой, включенной, границе полуинтервала при $x=-2$: $y_{наиб} = y(-2) = -\frac{4}{-2} = 2$.

Левая граница $x=-4$ не включена в полуинтервал. При $x$, стремящемся к -4, значение функции $y$ стремится к $y(-4) = -\frac{4}{-4} = 1$, но не достигает этого значения. Следовательно, наименьшего значения на данном полуинтервале нет.

Ответ: наименьшего значения нет, наибольшее значение равно 2.